高三数学2.1映射与函数课件

第二章函数 2 1映射与函数 基础知识自主学习 要点梳理1 映射 1 定义 设A B是两个集合 如果按照某种对应关系f 对于集合A中的 在集合B中都有的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集合A B 以及集合A到集合B的对应关系f 叫做的映射 记作f A B 任何一个元素 唯一 集合A到集合B 2 象和原象 给定一个集合A到集合B的映射 且a A b B 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的 元素a叫做元素b的 2 函数 1 函数的定义设A B是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合A中的 在集合B中都有 称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作y f x x A x的取值范围A叫做函数的 叫做函数的值域 象 原象 任意一个数x 唯一确定的数f x 和它对应 定义域 函数值的集合 f x x A 2 函数的三要素 和 3 函数的表示法表示函数的常用方法 3 反函数 1 定义函数y f x x A 中 设它的值域为C 根据这个函数中x y的关系 用y把x表示出来 得到x y 如果对于y在C中的 通过x y x在A中都有和它对应 那么 x y 就表示y是自变量 x是自变量y的函数 这 定义域 值域 对应法则 解析法 列表法 图象法 任何一个值 唯一的值 样的函数x y y C 叫做函数y f x x A 的 记作 习惯上用x表示自变量 用y表示函数 把它改写成 2 互为反函数的函数图象的关系函数y f x 的图象和它的反函数y f 1 x 的图象关于直线对称 反 函数 x f 1 y y f 1 x y x 基础自测1 设集合M x 0 x 2 N y 0 y 2 那么下面的4个图形中 能表示集合M到集合N的函数关系的有 A B C D 解析由映射的定义 要求函数在定义域上都有图象 并且一个x对应着一个y 据此排除 选C D 2 给出四个命题 函数是其定义域到值域的映射 f x 是函数 函数y 2x x N 的图象是一条直线 f x 与g x x是同一个函数 其中正确的有 A 1个B 2个C 3个D 4个解析由函数的定义知 正确 满足f x 的x不存在 不正确 又 y 2x x N 的图象是一条直线上的一群孤立的点 不正确 又 f x 与g x 的定义域不同 也不正确 A 3 下列各组函数是同一函数的是 解析排除A 排除B 当即x 1时 y x x 1 2x 1 排除C 故选D 答案D 4 函数f x 3x 5 x 0 1 的反函数f 1 x 解析 y 3x 5 又0 x 1 5 y 8 f x 的反函数为 y 5 已知f x2 5x 则f x 解析 题型一求函数的解析式 例1 1 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图象在y轴上的截距为1 被x轴截得的线段长为 求f x 的解析式 2 已知 3 已知f x 满足2f x 3x 求f x 问题 1 由题设f x 为二次函数 故可先设出f x 的表达式 用待定系数法求解 问题 2 已知条件是一复合函数的解析式 因此可用换元法 问题 3 已知条件中含x 可用解方程组法求解 题型分类深度剖析 思维启迪 解 1 f x 为二次函数 设f x ax2 bx c a 0 且f x 0的两根为x1 x2 由f x 2 f x 2 得4a b 0 由已知得c 1 由 式解得b 2 a c 1 f x x2 2x 1 探究提高求函数解析式的常用方法有 1 代入法 用g x 代入f x 中的x 即得到f g x 的解析式 2 拼凑法 对f g x 的解析式进行拼凑变形 使它能用g x 表示出来 再用x代替两边的所有 g x 即可 3 换元法 设t g x 解出x 代入f g x 得f t 的解析式即可 4 待定系数法 若已知f x 的解析式的类型 设出它的一般形式 根据特殊值 确定相关的系数即可 5 赋值法 给变量赋予某些特殊值 从而求出其解析式 知能迁移1 1 已知f 1 lgx 求f x 2 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 解 1 2 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 故f x 2x 7 题型二分段函数 例2 设函数f x 若f 4 f 0 f 2 2 则关于x的方程f x x解的个数为 A 1B 2C 3D 4求方程f x x的解的个数 先用待定系数法求f x 的解析式 再用数形结合或解方程 思维启迪 解析由f 4 f 0 得b 4 再由f 2 2 得c 2 x 0时 显然x 2是方程f x x的解 x 0时 方程f x x即为x2 4x 2 x 解得x 1或x 2 综上 方程f x x解的个数为3 答案C分段函数是一类重要的函数模型 解决分段函数问题 关键要抓住在不同的分段内研究问题 如本例 需分x 0时 f x x的解的个数和x 0时 f x x的解的个数 探究提高 知能迁移2 2009 山东理 10 定义在R上的函数f x 满足则f 2009 的值为 A 1B 0C 1D 2解析当x 0时 f x f x 1 f x 2 f x 1 f x f x 1 f x 1 f x 2 即f x 3 f x f x 6 f x 即当x 0时 函数f x 的周期是6 又 f 2009 f 334 6 5 f 5 由已知得f 1 log22 1 f 0 0 f 1 f 0 f 1 1 f 2 f 1 f 0 1 f 3 f 2 f 1 1 1 0 f 4 f 3 f 2 0 1 1 f 5 f 4 f 3 1 C 题型三函数的实际应用 例3 12分 某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应提高的比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度利润比上年有所增加 问投入成本增加的比例x应在什么范围内 准确理解题意 构建函数模型 解题示范解 1 依题意 本年度每辆摩托车的成本为1 x 万元 而出厂价为1 2 1 0 75x 万元 销售量为1000 1 0 6x 辆 故利润y 1 2 1 0 75x 1 x 1000 1 0 6x 4分 整理得y 60 x2 20 x 200 0 x 1 6分 思维启迪 2 要保证本年度利润比上一年有所增加 则y 1 2 1 1000 0 8分 即 60 x2 20 x 200 200 0 即3x2 x 0 10分 解得0 x 适合0 x 1 故为保证本年度利润比上年有所增加 投入成本增加的比例x的取值范围是0 x 12分 函数的实际应用问题 要准确构建数学模型 求得函数解析式后 要写出函数的定义域 一般情况下 都要受到实际问题的约束 探究提高 知能迁移3 2009 浙江 文15理14 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价 该地区的电网销售电价表如下 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时 低谷时间段用电量为100千瓦时 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元 用数字作答 解析高峰时段的电价由两部分组成 前50千瓦时电价为50 0 568元 后150千瓦时为150 0 598元 低谷时段的电价由两部分组成 前50千瓦时电价为50 0 288元 后50千瓦时为50 0 318元 电价为50 0 568 150 0 598 50 0 288 50 0 318 148 4 元 答案148 4 思想方法感悟提高方法与技巧1 若两个函数的对应关系一致 并且定义域相同 则两个函数为同一函数 2 函数有三种表示方法 列表法 图象法和解析法 三者之间是可以互相转化的 求函数解析式比较常见的方法有代入法 换元法 待定系数法和解函数方程等 特别要注意将实际问题化归为函数问题 通过设自变量 写出函数的解析式并明确定义域 还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法 针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视 3 求用解析式y f x 表示的函数的定义域时 常有以下几种情况 1 若f x 是整式 则函数的定义域是实数集R 2 若f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于0的实数集 3 若f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合 4 若f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 5 若f x 是由实际问题抽象出来的函数 则函数的定义域应符合实际问题 失误与防范1 建立实际问题的函数式 首先要选定变量 而后寻找等量关系 求函数解析式 但要根据实际问题确定定义域 2 判断对应是否为映射 即看A中元素是否满足 每元有象 和 且象惟一 但要注意 1 A中不同元素可有相同的象 即允许多对一 但不允许一对多 2 B中元素可无原象 即B中元素可有剩余 一 选择题1 下列四组函数中 表示同一函数的是 定时检测 解析答案D 2 已知f x 使f x 1成立的x的取值范围是 A 4 2 B 4 2 C 0 2 D 4 2 解析 B 3 2009 广东文 4 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x A B 2x 2C D log2x解析函数y ax a 0 且a 1 的反函数是f x logax 又f 2 1 即loga2 1 所以a 2 故f x log2x D 4 2008 山东 设函数的值为 解析 A 5 2008 陕西 定义在R上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y R f 1 2 则f 3 等于 A 2B 3C 6D 9解析f 1 f 0 1 f 0 f 1 2 0 1 f 0 f 1 f 0 0 f 0 f 1 1 f 1 f 1 2 1 1 f 1 f 1 2 f 1 0 f 1 f 2 1 f 2 f 1 2 2 1 f 2 f 1 4 f 2 2 f 2 f 3 1 f 3 f 1 2 3 1 f 3 f 1 6 f 3 6 C 6 函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上存在反函数的充要条件是 A a 1 B a 2 C a 1 2 D a 1 2 解析由二次函数的对称轴为x a可得答案 D 二 填空题7 某出租车公司规定 打的 收费标准如下 3千米以内为起步价8元 即行程不超过3千米 一律收费8元 若超过3千米除起步价外 超过部分再按1 5元 千米收费计价 若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱 该乘客下车时乘车里程数为7 4 则乘客应付的车费是元 解析车费为8 7 4 3 1 5 14 6 15 元 15 8 2009 北京文 12 已知函数若f x 2 则x 解析当x 1时 3x 2 x log32 当x 1时 x 2 x 2 舍去 log32 9 已知符号函数sgnx 解析 x 1 sgnx 2的解集是 x x1 则不等式 三 解答题10 已知函数f x 和g x 的图象关于原点对称 且f x x2 2x 1 求g x 的解析式 2 解不等式g x f x x 1 解 1 设函数y f x 的图象上任一点Q x0 y0 关于原点的对称点为P x y 点Q x0 y0 在函数y f x 的图象上 y x2 2x 即y x2 2x 故g x x2 2x 2 由g x f x x 1 可得 2x2 x 1 0 当x 1时 2x2 x 1 0 此时不等式无解 当x 1时 2x2 x 1 0 因此 原不等式的解集为 11 某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每辆车的月租金定为3600元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 解 1 当每辆车的月租金定为3600元时 未租出的车辆数为 所以这时租出了88辆车 2 设每辆车的月租金定为x元 则租赁公司的月所以 当x