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文档简介

浅谈泰勒公式及其应用摘要:大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式,并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,在近似计算上有着独特的优势,在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。关键词:泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题,一般可以采用洛比达法则来求,但是,对于一些求导比较繁琐,特别是要多次使用洛比达法则的情况,泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,通过比较求出极限。例1 求分析:此题分母为,如果用洛比达法则,需连用4次,比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。解: 因为将换成有又 所以 故 例2 求极限解: 因为分母的次数为4,所以只要把,展开到的4次幂即可。故 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。例4 估计近似公式 的绝对误差。解: 设,则因为 所以 带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为: 从而: (2)利用泰勒公式求近似值例5 计算的值,使其误差不超过解: 由 得当时 ()故,当时,便有从而略去而求得的近似值为3、泰勒在不等式证明中的应用 关于不等式的证明,我们已经知道了许多方法,如利用拉格朗日中值定理来证明不等式,利用函数的凸性来证明不等式,以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性,从而证明不等式的方法。下面我们举例说明,泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。例6 设在二次可导,而且,试求存在,使。证明: 由于在的最小值不等于在区间端点的值,故在内存在,使,由费马定理知,。又 (介于与之间)由于,不令和,有所以当时,而当时,可见与中必有一个大于或等于8。4、 在行列式计算中的应用若一个行列式可看做x的函数(一般是x的n次多项式),记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值。例7 求n阶行列式 (3)解: 记,按泰勒公式在z处展开: (4)易知 (5)由(5)得,。根据行列式求导的规则,有于是在处的各阶导数为, 把以上各导数代入(2)式中,有若,有,若,有。5、在判定敛散性方面的应用(1)在广义积分敛散性中的应用在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值,从而简单地判定的敛散性(注意到:如果得收敛,则得收敛)。 例8 研究广义积分的敛散性.。 解 : 因此,即是的阶,而收敛,故收敛,从而。(2)泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用首先给出以下两个定理 定理3 若,且 ,则与 同敛散性。定理4 若条件收敛,而绝对收敛,则条件收敛。利用上述两个定理和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。例9 判别 , 的敛散性。此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。解: 由泰勒公式得的一阶展开式,在0与之间,从而,在0 与之间,于是因为当时条件收敛,当时绝对收敛,又由知, 当 时,收敛,当时发散。所以,当时发散,当时条件收敛,当 时绝对收敛。7、在证明与求解积分方面的应用(1)在定积分证明的方面,泰勒公式对于求被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用,主要是通过作辅助函数,对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理。 例11 设在上二阶连续可微,则在这个区间上存在一个,使得。证明:令,将在处展开,得在之间,令,则得到 (9) 令,则得到 (10)用(9)-(10)得到再令,且,则因为在上连续,由介值定理知,使得所以(2)泰勒公式在求解数值积分中的应用设为的原函数,由牛顿莱布尼兹公式知,对定义在区间上的定积分,有:但是,并不是区间上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿莱布尼兹公式解决的,有的原函数不能用初等函数表示,或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数、等函数的积分都无法解决;又或者当被积函数为一组离散的数据时,对于这种积分更是无能为力了。理论上,定积分是一个客观存在的确定的数值,要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式,可实现定积分的近似计算。解法具体地说,如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数,则把这个幂级数逐项积分,用积分后的级数就可算出定积分的近似值。例12 计算定积分的近似值解: 因为 所以 因此=由此式得到 此时误差 8、泰勒公式判断求解函数的根与性质(1)、利用泰勒公式证明根的唯一存在型例13 设在上二阶可导,且,对,证明:在内存在唯一实根。分析:这里是抽象函数,直接讨论的根有困难,有题设在上二阶可导,且,可考虑将在点展开一阶泰勒公式,然后设法用介值定理证明。证明: 因为,所以单调减少,又,因此时,故在上严格单调减少,在点展开一阶泰勒公式有:由题设,于是有,从而必存在,使得又因为,在上应用连续函数严格单调的介值定理,存在使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根。(2)、利用泰勒公式判断函数的极值例14 (极值的第二充分条件)设在的某邻域处一阶可导,在处二阶可导,且,(i)若,则在取得极大值。(ii)若,则在取得极小值。证明: 由条件,可得在处的二阶泰勒公式 由于,因此 (11)又因,故存在正数,当时,和同号,所以当时,(11)式取负值,从而任意有:,即在取得极大值。同样对可得在取得极小值。 (3)利用泰勒公式判断函数的凸凹性例15 设在上连续,在上具有一阶和二阶导数,若在内,则在上的图形是凹的。证明:设为内任意两点,且足够小。为中的任意泰勒公式在几何计算上的应用 (1)、泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合,产生精度较高的近似值的方法,它的基础是泰勒公式,其原理可以简述如下:若对于某个值,按参数算出的近似值可以展开成 (18)(这里先不管的具体形式),那么按参数算出的近似值 (19)和与准确值的误差都是阶的。 现在,将后(19)式乘2减去(18)式,便得到也就是说,对两个阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后,却得到了具有阶的近似值。这样的过程就称为外推。若进行了一次外推之后精度仍未达到要求,则可以从出发再次外推,得到阶的近似值。这样的过程可以进行步,直到 ,满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果,因此是一种非常重要的近似计算技术。例 17 单位圆的内接正边形的面积可以表示为 这里,按照泰勒公式 因此,其内接正边形的面积可以表示为 ,用它们作为的近似值,误差都是量级的。现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合:那么通过简单的计算就可以知道项被消掉了!也就是说,用近似表示,其精度可以大大提高。(2)求曲线的渐近线方程若曲线上的点到直线的距离在或时趋于零,则称直线是曲线的一条渐近线。当时称为水平渐近线,否则称为斜渐近线.显然,直线是曲线的渐近线的充分必要条件为或 如果是曲线的渐近线,则(或)。因此首先有(或)。其次,再由(或)可得(或)反之,如果由以上两式确定了和,那么是曲线的一条渐近线。中至少有一个成立,则称直线是曲线的一条渐近线,当时,称为水平渐近线,否则称为斜渐近线。而如果在趋于某个定值时趋于或,即成立 则称直线是的一条垂直渐近线。注意,如果上面的极限对于成立,则说明直线关于曲线在和两个方向上都是渐近线。除上述情况外,如果当或时,趋于或,即或,则称直线是曲线的一条垂直渐近线。例18 求 的渐近线方程。解: 设 的渐近线方程为,则由定义 =由此为曲线的渐近线方程。11、泰勒公式关于界的估计在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的,有的有上界,而有的有下界,结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用,可以用泰勒公式解决界的估计。例19 设在上有二阶导数,时,.试证:当时,。证明: 所以 又 在处的麦克劳林展开式为 (21)比较(20)和(21)中的系数,得,这里,我们通过Maclaurin 公式把求解一个复杂的反三解函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数,而后者的求解是非常简单的。三、总结 文章主要对泰勒公式的证明进行简要的叙述,然后借助数学软件(mathematica)利用计算机模拟的方法对泰勒公式的正确性进行验证。归纳整理泰勒公式在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位。参考文献:1 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高教出版社 20012 唐清干. 泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用J. 桂林电子工业学院学报,2002(02) :3-22 3 岳杨 Taylor级数估算法估计债券价格的变化 科技广场2009年第8期 DISSCUSSION ON THE APPLICATION OF TAYLOR FORMULAAbstract: Taylor formula is an important formula in mathematical analysis and also occupy a space for one person in the function limit and the estimation error in the approximate calculation etc. It has uniqu

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