第五章第二节等差数列及其前n项和

1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 等差数列及其前n项和 理要点 一 等差数列的有关概念1 定义 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为 n N d为常数 第二项 差 an 1 an d 等差中项 二 等差数列的有关公式1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前n项和公式 Sn 三 等差数列的性质1 若m n p q N 且m n p q an 为等差数列 则 am an ap aq 2 在等差数列 an 中 ak a2k a3k a4k 仍为等差列 公差为 kd 4 等差数列的增减性 d 0时为数列 且当a10时前n项和Sn有最值 3 若 an 为等差数列 则Sn S2n Sn S3n S2n 仍为等差数列 公差为 大 n2d 递增 递减 小 二次 充要 究疑点 1 已知等差数列 an 的第m项为am 公差为d 则其第n项an能否用am与d表示 2 等差数列前n项和公式能否看作关于n的函数 该函数是否有最值 提示 能 an am n m d 提示 当d 0时 Sn是关于n的且常数项为0的二次函数 则 n Sn 是二次函数图象上的一群孤立的点 由此可得 当d 0时 Sn有最小值 当d 0时 Sn有最大值 题组自测 1 若 an 是等差数列 则下列数列中仍为等差数列的个数有 an 3 a an 1 an 2an 2an n A 1个B 2个C 3个D 4个 2n 解析 an 为等差数列 则由其定义可知 仍然是等差数列 答案 D 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an an 1 an 则数列 an 的通项公式为 归纳领悟 判断或证明数列 an 为等差数列 常见的方法有以下几种 1 利用定义 an 1 an d 常数 n N 2 利用等差中项 2an 1 an an 2 3 利用通项公式 an dn c d c为常数 d为公差 当d 0时 通项公式an是关于n的一次函数 d 0时为常函数 也是等差数列 4 利用前n项和公式 Sn an2 bn a b为常数 若一个数列的前n项和为关于n的二次函数且不含常数项 则这个数列为公差不等于零的等差数列 若此时的a 0 则此数列为常数列 答案 B 答案 2n 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a6 S3 12 则 an 的通项an 3 设 an 是一个公差为d d 0 的等差数列 它的前10项和S10 110且a1 a2 a4成等比数列 1 证明a1 d 2 求公差d的值和数列 an 的通项公式 4 2010 新课标全国卷 设等差数列 an 满足a3 5 a10 9 1 求 an 的通项公式 2 求 an 的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值 等差数列 an 的前n项和记为Sn 已知a10 30 a20 50 1 求通项an 2 若Sn 242 求n 题组自测 1 2010 重庆高考 在等差数列 an 中 a1 a9 10 则a5的值为 A 5B 6C 8D 10 答案 A 答案 C 3 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且S10 10 S20 30 则S30 解析 S10 S20 S10 S30 S20成等差数列 2 S20 S10 S10 S30 S20 40 10 S30 30 S30 60 答案 60 归纳领悟 1 等差数列的性质是等差数列的定义 通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效 方便 快捷地解决许多等差数列问题 2 应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系 一 把脉考情从近两年的高考试题来看 等差数列的判定 等差数列的通项公式 前n项和公式以及与前n项和有关的最值问题等是高考的热点 题型既有选择题 填空题又有解答题 难度中等偏高 客观题突出 小而巧 主要考查性质的灵活运用及对概念的理解 主观题考查较为全面 在考查基本运算 基本概念的基础上 又注重考查了函数方程 等价转化 分类讨论等思想方法 预测2012年高考仍将以等差数列的定义 通项公式和前n项和公式为主要考点 重点考查运算能力与逻辑推理能力 二 考题诊断1 2010 全国卷 如果等差数列 an 中a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7 A 14B 21C 28D 35 解析 由等差数列的性质知 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 故a1 a2 a3 a7 a1 a7 a2 a6 a3 a5 a4 7a4 28 答案 C 2 2010 辽宁高考 设Sn为等差数列 an 的前n项和 若S3 3 S6 24 则a9 答案