2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-5-2-2 平面与平面平行的性质学案 北师大版必修2

二平面与平面平行的性质平面和平面平行的性质定理1观察长方体abcda1b1c1d1的两个面：平面abcd及平面a1b1c1d1.(1)平面a1b1c1d1中的所有直线都平行于平面abcd吗？(2)若m平面abcd，n平面a1b1c1d1，则mn吗？(3)过bc的平面交面a1b1c1d1于b1c1，b1c1与bc是什么关系？答案(1)是的(2)不一定，也可能异面(3)平行2两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？答案一定平行于另一个平面因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行.题型一对面面平行性质的理解【典例1】(1)平面平面，直线a，直线b，下面四种情形：ab；ab；a与b异面；a与b相交，其中可能出现的情形有()a1种b2种c3种d4种(2)给出三种说法：若平面平面，平面平面，则平面平面；若平面平面，直线a与相交，则a与相交；若平面平面，p，pq，则pq.其中正确说法的序号是_解析(1)因为平面平面，直线a，直线b，所以直线a与直线b无公共点当直线a与直线b共面时，ab；当直线a与直线b异面时，a与b所成的角大小可以是90.综上知，都有可能出现，共有3种情形故选c.(2)正确证明如下：如图(1)，在平面内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面，使它们分别与平面交于两相交直线a、b，因为，所以aa，bb.又因为，同理在平面内存在两相交直线a，b，使得aa，bb，所以aa，bb，所以.正确若直线a与平面平行或直线a，则由平面平面知a与无公共点或a，这与直线a与相交矛盾，所以a与相交正确如图(2)，过直线pq作平面，a，b，由得ab.因为pq，pq，所以pqb.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线pq重合因为a，所以pq.答案(1)c(2)常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行针对训练1下列命题中正确的是()a夹在两个平行平面间的相等线段必平行b夹在两个平行平面间的平行线段长相等c两个平面到一条直线的距离相等，则两平面平行d一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则两平面平行解析夹在两个平行平面间的相等线段可以平行也可以相交或异面；两个平面到一条直线的距离相等，两平面不一定平行；一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则两平面不一定平行，必须是两条相交直线才行答案b题型二平面与平面平行性质定理的应用【典例2】如图，平面，a、c，b、d，直线ab与cd交于s，且as8，bs9，cd34，求cs的长思路导引(1)ac与bd分别是平面sbd与平面、的交线，而平面平行于平面，利用面面平行的性质定理可得(2)利用相似比求线段长解设ab，cd共面，因为ac，bd，且，所以acbd，所以sacsbd，所以，即，所以sc272.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤针对训练2已知三个平面、满足，直线a与这三个平面依次交于点a、b、c，直线b与这三个平面依次交于点e、f、g.求证：.证明连接ag交于h，连接bh、fh、ae、cg.，平面acgbh.平面acgcgbhcg.同理aehf.题型三平行关系的综合应用【典例3】如图所示，四边形abcd是平行四边形，点p是平面abcd外一点，m是pc的中点，在dm上取一点g，过g和ap作平面交平面bdm于gh.求证：gh平面pad. 思路导引(1)证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化. (2)关键是连接ac交bd于o，结合pc中点m，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断. 证明如图所示，连接ac交bd于点o，连接mo. abcd是平行四边形，o是ac的中点，又m是pc的中点，pamo，而ap平面bdm，om平面bdm, pa平面bmd，又pa平面pahg, 平面pahg平面bmdgh，pagh. 又pa平面pad，gh平面pad，gh平面pad. (1)本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行线面平行线线平行线面平行. (2)在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面. 针对训练3在长方体abcda1b1c1d1中，e为棱dd1上的点，试确定点e的位置，使b1d平面a1c1e. 解如图，连接b1d1，设a1c1b1d1m，连接me. 若b1d平面a1c1e，则b1d平行于过b1d的平面与平面a1c1e的交线. 由于b1d平面b1dd1，平面b1dd1平面a1c1eme, 所以b1dme.又因为m为b1d1的中点，所以e为dd1的中点. 1若ab、bc、cd是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线ac的位置关系是()a平行b相交cac在此平面内d平行或相交解析利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行答案a2已知平面平面，p，p，过点p的两直线分别交、于a、b和c、d四点，a、c，b、d，且pa6，ab2，bd12，则ac之长为()a10或18b9 c18或9d6解析由pa6，ab2知，p点不可能在与之间，点p在两平行平面所夹空间外面，或，ac9或ac18，选c.答案c3已知两条直线l，m，是两个平面，下列命题正确的是()a若，l，则lb若l，m，则lmc若，l，m，则lmd若，l，则l解析a，l可能在内，b，l与m可能相交、平行、异面，c与b一样的结论d正确答案d4平面截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面必定和这个三棱锥的()a一个侧面平行b底面平行c仅一条棱平行d某两条相对的棱都平行解析当平面某一平面时，截面为三角形，故选项a，b错当平面sa时，如图截面是四边形defg，又sa平面sab，平面sabdg，所以sadg，同理saef，所以dgef，同理当bc时，gfde，因为截面是梯形，所以四边形defg中仅有一组对边平行，故仅与一条棱平行故选c.答案c课后作业(十)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 ()a两两相互平行b两两相交于同一点c两两相交但不一定交于同一点d两两相互平行或交于同一点解析根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行答案a2已知直线a平面，a平面，b，则a与b ()a相交b平行c异面d共面或异面解析直线a，a，在平面、中必分别有一直线平行于a，不妨设为m、n，am，an，mn.又、相交，m在平面内，n在平面内，m，mb，ab.故选b.答案b3若平面平面，直线a，点b，过点b的所有直线中()a不一定存在与a平行的直线b只有两条与a平行的直线c存在无数条与a平行的直线d有且只有一条与a平行的直线解析，b，a，ba点b与直线a确定一个平面与有一个公共点b与有且仅有一条经过点b的直线b，ab.故选d.答案d4如图，在多面体abcdefg中，平面abc平面defg，efdg，且abde，dg2ef，则 ()abf平面acgdbcf平面abedcbcfgd平面abed平面cgf解析取dg的中点为m，连接am、fm，如图所示则由已知条件易证四边形defm是平行四边形de綊fm.平面abc平面defg，平面abc平面adebab，平面defg平面adebde，abde，abfm.又abde，abfm，四边形abfm是平行四边形，即bfam.又bf平面acgd，bf平面acgd.故选a.答案a5平面平面，abc、abc分别在、内，线段aa、bb、cc共点于o，o在、之间若ab2，ac1，bac60，oaoa32，则abc的面积为()a.b.c.d.解析如图bcbc，abab，acac，abcabc且由知相似比为又由ab2，ac1，bac60知sabcabacsin60sabc.答案c6已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若a，b，且ab，则；若a，b相交，且都在，外，a，b，a，b，则；若a，b，且ab，则；若a，a，b，则ab.其中正确命题的序号是_. 解析中，与都可能相交，正确的是.答案7如图，a1b1c1d1与abcd是四棱台的上、下底面，那么ac和a1c1的位置关系是_. 解析a1a和cc1延长后相交，ac和a1c1分别是平面aa1c1c与下、上底面交线，因为棱台上、下底面平行，所以aca1c1.答案平行8.如图，在四面体abcd中，若截面pqmn是正方形，则在下列结论中正确的为_acbd；ac截面pqmn；acbd；异面直线pm与bd所成的角为45.解析mnpq，pq平面acd，又平面acd平面abcac，pqac，从而ac截面pqmn，正确；同理可得mqbd，故acbd，正确；又mqbd，pmq45，异面直线pm与bd所成的角为45，故正确根据已知条件无法得到ac，bd长度之间的关系，错误故填.答案9如图，四棱锥pabcd中，abcd，ab2cd，e为pb的中点求证：ce平面pad.证明证法一：如图所示，取pa的中点h，连接eh、dh.因为e为pb的中点，所以ehab，ehab.又abcd，cdab，所以ehcd，ehcd.因此四边形dceh是平行四边形，所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad，因此ce平面pad.证法二：如图所示，取ab的中点f，连接cf、ef，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形，因此cfad.又cf平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpd.又ef平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.10如图，在正方体abcda1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p是dd1的中点，设q是cc1上的点，问：当点q在什么位置时，平面d1bq与平面pao平行？解当q为cc1的中点时，平面d1bq平面pao.连接bd，由题意可知，bdaco，o为bd的中点，又p为dd1的中点，opbd1，又bd1平面pao，po平面pao，bd1平面pao，连接pc.pd1綊cq，d1qpc.又pc平面pao，d1q平面pao，d1q平面pao.又d1qbd1d1，平面d1bq平面pac.应试能力等级练(时间25分钟)11如图，在三棱台a1b1c1abc中，点d在a1b1上，且aa1bd，点m是a1b1c1内的一个动点，且有平面bdm平面a1c1ca.则动点m的轨迹是()a平面b直线c线段，但只含1个端点d圆解析因为平面bdm平面a1c1ca，平面bdm平面a1b1c1dm，平面a1c1ca平面a1b1c1a1c1，所以dma1c1，过d作dea1c1交b1c1于e，则点m的轨迹是线段de(不包括点d)故选c.答案c12设平面平面，点a，点b，c是ab的中点，当点a、b分别在平面、内运动时，那么所有的动点c()a不共面b不论a、b如何移动，都共面c当且仅当a、b分别在两直线上移动时才共面d当且仅当a、b分别在两条给定的异面直线上移动时才共面解析如图，不论点a、b如何移动，点c都共面，且所在平面与平面、平面平行答案b13正方体abcda1b1c1d1的棱长为3，点e在a1b1上，且b1e1，平面平面bc1e，若平面平面aa1b1ba1f，则af的长为_. 解析因为平面平面bc1e，平面平面aa1b1ba1f，平面bc1e平面aa1b1bbe，所以a1fbe.又a1ebf，所以四边形a1ebf是平行四边形，所以a1ebf2，所以af1.答案114如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，过其对角线bd1的平面分别与aa1，cc1相交于点e，f，则截面四边形bed1f面积的最小值为_解析如图，连接bd，b1d1，由平面与平面平行的性质定理可证bfd1e，bed1f.所以四边形bed1f是平行四边形过e点作ehbd1于h.因为s四边形bed1f2sbed1bd1eheha，所以要求四边形bed1f面积的最小值，转化为求eh的最小值因为aa1平面bdd1b1，所以当且仅当eh为直线a