2019_2020学年高中数学阶段质量检测二空间向量与立体几何北师大版选修2_120200302011.doc
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测+习题课（打包7套）北师大版选修2-1
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2019-2020学年高中数学
阶段质量检测+习题课（打包7套）北师大版选修2-1
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2019-2020学年高中数学 阶段质量检测+习题课（打包7套）北师大版选修2-1,2019-2020学年高中数学,阶段质量检测+习题课（打包7套）北师大版选修2-1,2019,2020,学年,高中数学,阶段,质量,检测,习题,打包,北师大,选修
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习题课（一） 常用逻辑用语1设xz，集合a是奇数集，集合b是偶数集若命题p：任意xa,2xb，则()a綈p：存在xa,2xb b綈p：存在xa,2xbc綈p：存在xa,2xb d綈p：任意xa,2xb解析：选c命题p是全称命题：任意xm，p(x)，则綈p是特称命题：存在xm，綈p(x)故选c.2命题p：若ab0，则a0；命题q：若a0，则ab0，则()a“p或q”为假 b“p且q”为真cp真q假 dp假q真解析：选d由条件易知：命题p为假命题，命题q为真命题，故p假q真从而“p或q”为真，“p且q”为假3下列命题中，真命题是()a存在xr，ex0b任意xr,2xx2cab0的充要条件是1da1，b1是ab1的充分条件解析：选d任意xr，ex0，a错；函数y2x与yx2的图像有交点，如点(2,2)，此时2xx2，b错；当ab0时，ab0，而0作分母无意义，c错；a1，b1，由不等式可乘性知ab1，d正确4设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a先证“ ab”，m，b，bm，b.又a，ba；再证“ab/ ”举反例，当am时，由bm知ab，此时二面角m可以为(0，上的任意角，即不一定垂直于.故选a.5下列有关命题的说法错误的是()a命题“若x210，则x1”的逆否命题为“若x1，则x210”b“x1”是“x23x20”的充分不必要条件c若集合ax|kx24x40中只有一个元素，则k1d对于命题p：存在x0r，使得xx010，则綈p：任意xr，均有x2x10解析：选ca显然正确；当x1时，x23x20成立，但x23x20时，x1或x2，故“x1”是“x23x20”的充分不必要条件，b正确；若集合ax|kx24x40中只有一个元素，则k0或k1，故c错误；d显然正确6已知p：m1xm1，q：(x2)(x6)0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是()a(3,5) b3,5c(，3)(5，) d(，35，)解析：选bp：m1xm1，q：2x2或x2或x1，则綈p是綈q的_条件解析：綈p：x2.綈q：1x2.因为綈p綈q，但綈q/ 綈p.所以綈p是綈q的充分不必要条件答案：充分不必要9已知命题p：“任意x1,2，x2a0”，命题q：“存在xr，x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：命题p：“任意x1,2，x2a0”为真，则ax2，x1,2恒成立，所以a1.命题q：“存在xr，x22ax2a0”为真，则“4a24(2a)0，即a2a20”，解得a2或a1.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(，21答案：(，2110已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围解：p：x28x200x2或x10，令ax|x10，a0，q：x1a或x1a，令bx|x1a，由题意pq且qp，知ab，应有或 0a3，a的取值范围为(0,311已知函数f(x)(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知mr，命题p：关于x的不等式f(x)m22m2对任意mr恒成立；q：函数y(m21)x是增函数若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围解：(1)作出函数f(x)的图像，可知函数f(x)在(，2)上单调递减，在上单调递增，故f(x)minf(2)1.(2)对于命题p，m22m21，故3m1；对于命题q，m211，故m或m.由于“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假若p真q假，则解得m1.若p假q真，则解得m.故实数m的取值范围是(，3)，1(，)- 4 -习题课（三） 圆锥曲线与方程1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()a2b.c. d.解析：选c由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab.由离心率的计算公式，可得e22，e.2已知f是抛物线yx2的焦点，p是该抛物线上的动点，则线段pf中点的轨迹方程是()ax22y1 bx22ycx2y dx22y2解析：选a焦点为f(0,1)，设p(p，q)，则p24q.设q(x，y)是线段pf的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.3已知直线ykx1与双曲线x21交于a，b两点，且|ab|8，则实数k的值为()a b或c d解析：选b由直线与双曲线交于a，b两点，得k2.将ykx1代入x21得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k25.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|ab|8，解得k或.4.我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)，如图所示，其中点f0，f1，f2是相应椭圆的焦点若f0f1f2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()a.，1 b.，1c5,3 d5,4解析：选a|of2|，|of0|c|of2|，b1，a2b2c21，得a.5.如图，f1，f2是椭圆c1：y21与双曲线c2的公共焦点，a，b分别是c1，c2在第二、四象限的公共点其四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是()a. b.c. d.解析：选d焦点f1(，0)，f2(，0)，在rtaf1f2中，|af1|af2|4，|af1|2|af2|212，所以可解得|af2|af1|2，故a，所以双曲线的离心率e，选d.6若过点a(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与椭圆e：y21都只有一个交点，且l1l2，则h的值为()a. b.c2 d.解析：选a由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：ykxh，则由l1l2，知l2：yxh，将l1：ykxh代入y21得(kxh)21，即(12k2)x24khx2h220，由l1与椭圆e只有一个交点知16k2h24(12k2)(2h22)0，即12k2h2.同理，由l2与椭圆e只有一个交点知，1h2，得k2，即k21，从而h212k23，即h.7已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为_解析：因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的方程为1.答案：18已知a(0，4)，b(3,2)，抛物线yx2上的点到直线ab的最短距离为_解析：直线ab为2xy40，设抛物线yx2上的点p(t，t2)，d.答案：9已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点，则|fn|_.解析：法一：依题意，抛物线c：y28x的焦点f(2,0)，因为m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n，m为fn的中点，设m(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以n(0,4)，|fn|6.法二：如图，不妨设点m位于第一象限内，抛物线c的准线交x轴于点a，过点m作准线的垂线，垂足为点b，交y轴于点p，pmof.由题意知，f(2,0)，|fo|ao|2.点m为fn的中点，pmof，|mp|fo|1.又|bp|ao|2，|mb|mp|bp|3.由抛物线的定义知|mf|mb|3，故|fn|2|mf|6.答案：610如图，已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆c的方程；(2)直线x2与椭圆c交于p，q两点，点p位于第一象限，a，b是椭圆c上位于直线x2两侧的动点若直线ab的斜率为，求四边形apbq面积的最大值解：(1)设椭圆c的方程为1(ab0)抛物线x24y的焦点是(0，)，b.由，a2b2c2，得a2，椭圆c的方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为yxt，联立得x22tx2t240，则x1x22t，x1x22t24.在1中，令x2，得p(2,1)，q(2，1)四边形apbq的面积ssapqsbpq|pq|x2x1|2|x2x1|x2x1|.当t0时，smax4.四边形apbq面积的最大值为4.11(2019北京高考)已知抛物线c：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线c的方程及其准线方程；(2)设o为原点，过抛物线c的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线c于两点m，n，直线y1分别交直线om，on于点a和点b.求证：以ab为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线c：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线c的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线c的焦点为f(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)，由消去y，得x24kx40.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x24.直线om的方程为yx.令y1，得点a的横坐标xa.同理得点b的横坐标xb.设点d(0，n)，则， ，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.所以以ab为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)- 6 -习题课（二） 空间向量与立体几何1若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()abc，相交但不垂直 d以上均不正确解析：选av3u，.2已知直线l过定点a(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点p(4,3,2)到直线l的距离为()a. b.c. d.解析：选a(2,0，1)，|，则点p到直线l的距离为 .3已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的上底面a1b1c1d1的中心为o1，则的值为()a1 b0c1 d2解析：选c由于()()，而，则()()2(22)1.4.如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面abc是等腰直角三角形，acb90，侧棱aa12，d，e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是abd的重心g.则a1b与平面abd所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：选a以c为坐标原点，ca所在的直线为x轴，cb所在的直线为y轴，cc1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设cacba，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，a1(a,0,2)，d(0,0,1)，e，g，(0，a,1)点e在平面abd上的射影是abd的重心g，平面abd，0，解得a2.，(2，2,2)，平面abd，为平面abd的一个法向量又cos，a1b与平面abd所成角的正弦值为.5已知空间三点a(1,0,3)，b(1,1,4)，c(2，1,3)若，且|，则点p的坐标为()a(4，2,2)b(2,2,4)c(4，2,2)或(2,2,4)d(4,2，2)或(2，2,4)解析：选c，可设.易知(3，2，1)，则(3，2，)又|，解得1，(3，2，1)或(3,2,1)设点p的坐标为(x，y，z)，则(x1，y，z3)，或解得或故点p的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)6.如图，在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，且侧棱aa1底面abc，且底面边长与侧棱长都等于2，o，o1分别为ac，a1c1的中点，则平面ab1o1与平面bc1o间的距离为()a. b.c. d.解析：选b如图，连接oo1，根据题意，oo1底面abc，则以o为原点，分别以ob，oc，oo1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系ao1oc1，obo1b1，ao1o1b1o1，oc1obo，平面ab1o1平面bc1o.平面ab1o1与平面bc1o间的距离即为o1到平面bc1o的距离o(0，0,0)，b(，0,0)，c1(0,1,2)，o1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，设n(x，y，z)为平面bc1o的法向量，则n0，x0.又n0，y2z0，可取n(0,2，1)点o1到平面bc1o的距离记为d，则d.平面ab1o1与平面bc1o间的距离为.7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为_解析：不妨设cb1，则b(0,0,1)，a(2,0,0)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：8已知空间三点o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)，在直线oa上有一点h满足bhoa，则点h的坐标为_解析：由(1,1,0)，且点h在直线oa上，可设h(，0)，则(，1，1)又bhoa，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，h.答案：9.如图，已知矩形abcd，ab1，bca，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqqd，则a的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系axyz，则d(0，a,0)设q(1，t,0)(0ta)p(0,0，z)则(1，t，z)， (1，at,0)由pqqd，得1t(at)0，即t2at10.由题意知方程t2at10只一解a240，a2，这时t10，a答案：210.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形abcd(及其内部)以ab边所在直线为旋转轴旋转120得到的，g是的中点(1)设p是上的一点，且apbe，求cbp的大小；(2)当ab3，ad2时，求二面角eagc的大小解：(1)因为apbe，abbe，ab，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，所以cbp30.(2)以b为坐标原点，分别以be，bp，ba所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得a(0,0,3)，e(2,0,0)，g(1，3)，c(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面aeg的一个法向量由可得取z12，可得平面aeg的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面acg的一个法向量由可得取z22，可得平面acg的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角eagc为锐角，故所求二面角eagc的大小为60.11四面体abcd及其三视图如图所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h.(1)证明：四边形efgh是矩形；(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，bddc，bdad，addc，bddc2，ad1.由题设，知bc平面efgh，平面efgh平面bdcfg，平面efgh平面abceh，bcfg，bceh，fgeh.同理efad，hgad，efhg，四边形efgh是平行四边形又addc，adbd，ad平面bdc，adbc，effg，四边形efgh是矩形(2)法一：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，efad，fgbc，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|.法二：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，e是ab的中点，f，g分别为bd，dc的中点，得e，f(1,0,0)，g(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)sin |cos，n|.- 7 -模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()a若x21，则x1或x1b若1x1，则x21或x1d若x1或x1，则x21解析：选d命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”故应选d.2命题p：若ab0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(，0及(0，)上都是减函数，则f(x)在(，)上是减函数下列说法中正确的是()a“p或q”是真命题b“p或q”是假命题c綈p为假命题 d綈q为假命题解析：选b当ab0时，a与b的夹角为锐角或零度角，命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)综上可知，“p或q”是假命题，选b.3(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()a2 b3c4 d8解析：选d抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由题意得，解得p0(舍去)或p8.4设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选ca，b为向量，设a与b的夹角为.由|ab|a|b|cos |a|b|从而得|cos |1，cos 1，所以0或，能够推得ab，反之也能够成立，为充分必要条件5.1的一个焦点为f1，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点m在y轴上，那么点m的纵坐标为()a b.c. d.解析：选a设f1为椭圆1的左焦点，f2为右焦点，pf1与y轴的交点为m.m是pf1的中点，mopf2，pf2x轴又半焦距c3，设p(x，y)，则x3，代入椭圆方程得1，解得y.m点纵坐标为.6以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()a.1b.1c.1 d.1解析：选d双曲线1，即1的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1而言，a216，c212.b24，因此方程为1.7.已知正四面体abcd中，aeab，cfcd，则直线de和bf夹角的余弦值为()a. b.c d解析：选a设正四面体的棱长为4.正四面体abcd中，相邻两棱夹角为60，对棱互相垂直又，4，|2141613.|，同理|.cos，.8已知抛物线y28x，过点p(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点p处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()a2xy40 b2xy40c2xy40 d2xy40解析：选a设l交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由y8x1，y8x2，两式相减得：得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又p(3,2)是ab的中点，y1y24，直线l的斜率k2，直线l的方程为2xy40.9正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为()a. b.c. d.解析：选c取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b，d.，.由于为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.10双曲线1(mn0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()a. b.c. d.解析：选a抛物线y24x的焦点为f(1,0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21.又双曲线的离心率e 2，联立方程，解得故mn.11在正棱柱abca1b1c1中，aa1ab2，直线ac与平面a1bc的夹角为，平面abc与平面a1bc的夹角为，则与的大小关系是()a bsin .12若点p为共焦点的椭圆c1和双曲线c2的一个交点，f1，f2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若0，则()a1 b2c3 d4解析：选b设椭圆的方程为1(a1b10)，双曲线的方程为1(a20，b20)，它们的半焦距为c，不妨设p为它们在第一象限的交点，因为0，故|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c2.由椭圆和双曲线的定义知，解得|pf1|a1a2，|pf2|a1a2，代入式，得(a1a2)2(a1a2)24c2，即aa2c2，所以2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13命题“存在xr，使2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：存在xr,2x23ax90为假命题，任意xr,2x23ax90为真命题，9a24290，即a28，2a2.答案：2，2 14设点o(0,0,0)，a(1，2,3)，b(1,2,3)，c(1,2，3)，若与的夹角为，则cos _.解析：(1，2,3)，(2,0，6)，cos .答案：15已知点a(1，2)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，记c的焦点为f，过点f且与x轴垂直的直线与抛物线交于m，n两点，则|mn|_.解析：因为点a(1，2)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，所以1，p2，抛物线的方程为y24x，焦点f(1,0)，当x1时，y2，则m(1,2)，n(1，2)或n(1,2)，m(1，2)，所以|mn|2(2)4.答案：416(2019全国卷)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点若，0，则c的离心率为_解析：法一：由，得a为f1b的中点又o为f1f2的中点，oabf2.又0，f1bf290.of2ob，obf2of2b.又f1oabof2，f1oaof2b，bof2of2bobf2，obf2为等边三角形如图所示，不妨设b为.点b在直线yx上，离心率e2.法二：0，f1bf290.在rtf1bf2中，o为f1f2的中点，|of2|ob|c.如图，作bhx轴于h，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|bh|2|oh|2|ob|2c2，|bh|b，|oh|a，b(a，b)，f2(c,0)又，a为f1b的中点oaf2b，c2a，离心率e2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：任意xr,4x24mx4m30.若(綈p)且q为真，求m的取值范围解：p真时，m2.q真时，4x24mx4m30在r上恒成立16m216(4m3)0，解得1m3.(綈p)且q为真，p假，q真即1m2.所求m的取值范围为1,218(本小题满分12分)已知抛物线c：y24x，f是抛物线c的焦点，过点f的直线l与c相交于a，b两点，o为坐标原点(1)如果l的斜率为1，求以ab为直径的圆的方程；(2)设|fa|2|bf|，求直线l的方程解：设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)y24x，f(1,0)，又直线l的斜率为1，直线l的方程为yx1，代入y24x，得x26x10，由根与系数的关系得易得ab的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|ab|x1x2p8，圆的半径r4，所求的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)|fa|2|bf|，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得x112(1x2)，或k2，直线l的方程为y2(x1)19(本小题满分12分)(2019全国卷)图1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形，其中ab1，bebf2，fbc60.将其沿ab，bc折起使得be与bf重合，连接dg，如图2.(1)证明：图2中的a，c，g，d四点共面，且平面abc平面bcge；(2)求图2中的二面角b cg a的大小解：(1)证明：由已知得adbe，cgbe，所以adcg，所以ad，cg确定一个平面，从而a，c，g，d四点共面由已知得abbe，abbc，且bebcb，所以ab平面bcge.又因为ab平面abc，所以平面abc平面bcge.(2)作ehbc，垂足为h.因为eh平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc.由已知，菱形bcge的边长为2，ebc60，可求得bh1，eh.以h为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz，则a(1,1,0)，c(1,0,0)，g(2,0，)， (1,0，)，(2，1,0)设平面acgd的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面bcge的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角bcga的大小为30.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：y24x，f为其焦点，点e的坐标为(2,0)，设m为抛物线c上异于顶点的动点，直线mf交抛物线c于另一点n，连接me，ne并延长分别交抛物线c于点p，q.(1)当mnx轴时，求直线pq与x轴交点的坐标；(2)当直线mn，pq的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k12k2.解：(1)抛物线c：y24x的焦点为f(1,0)当mnx轴时，直线mn的方程为x1.将x1代入抛物线方程y24x，得y2.不妨设m(1,2)，n(1，2)，则直线me的方程为y2x4，由解得x1或x4，于是得p(4，4)同理得q(4,4)，所以直线pq的方程为x4.故直线pq与x轴的交点坐标为(4,0)(2)证明：设直线mn的方程为xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，由得y24my40，于是y1y24，从而x1x21.设直线mp的方程为xty2，由得y24ty80.所以y1y38，x1x34.同理y2y48，x2x44.由，得y32y2，x34x2，y42y1，x44x1.从而k2k1，即k12k2.21(本小题满分12分)(2019北京高考)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，paadcd2，bc3，e为pd的中点，点f在pc上，且.(1)求证：cd平面pad；(2)求二面角faep的余弦值；(3)设点g在pb上，且.判断直线ag是否在平面aef内，说明理由解：(1)证明：因为pa平面abcd，所以pacd.又因为adcd，paada，所以cd平面pad.(2)过点a作ad的垂线交bc于点m.因为pa平面abcd，所以paam，paad.以a为坐标原点，am，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，1,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)因为e为pd的中点，所以e(0,1,1)所以(0,1,1)， (2,2，2)， (0,0,2)所以，所以.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，x1.于是n(1，1,1). 又因为平面pad的一个法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.由图知，二面角faep为锐角，所以二面角faep的余弦值为.(3)直线ag在平面aef内，理由如下：因为点g在pb上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面aef的一个法向量n(1，1,1)，所以n0.所以直线ag在平面aef内22(本小题满分12分)(2019全国卷)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.证明：pqg是直角三角形；求pqg面积的最大值解：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆(2)证明：设直线pq的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x .设u，则p(u，uk)，q(u，uk)，e(u,0)于是直线qg的斜率为，其方程为y(xu)由消去y，得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)设g(xg，yg)，则u和xg是方程(*)的解，故xg，由此得yg.从而直线pg的斜率为.所以pqpg，即pqg是直角三角形由得|pq|2u，|pg|，所以pqg的面积s|pq|pg|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为s在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，s取得最大值，最大值为.因此，pqg面积的最大值为.- 12 -阶段质量检测（一） 常用逻辑用语(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中是假命题的是()a等边三角形的三个内角均为60b若xy是有理数，则x，y都是有理数c集合a0,1的真子集有3个d若b1，则方程x22bxb2b0有实数根解析：选b对于a，由平面几何知识可知a是真命题；对于b，取x，y可知xy0是有理数，显然x，y都是无理数，故b是假命题；对于c，集合a0,1的所有真子集是，0，1，共有3个，故c是真命题；对于d，由b1知4b24(b2b)4b0，所以d是真命题，故选b.2设x，yr，则“x2且y2”是“x2y24”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a因为x2且y2x2y24易证，所以充分性满足，反之，不成立，如xy，满足x2y24，但不满足x2且y2，所以x2且y2是x2y24的充分而不必要条件3命题p：对任意xr，都有x22x2sin x成立，则命题p的否定是()a不存在xr，使x22x2sin x成立b存在xr，使x22x2sin x成立c存在xr，使x22x2sin x成立d对任意xr，都有x22x2sin x成立解析：选c全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选c.4已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()a命题綈p是真命题b命题p是特称命题c命题p是全称命题d命题p既不是全称命题也不是特称命题解析：选c命题p：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p是假命题5已知命题若ab，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()a的逆命题为真b的逆命题为真c的逆否命题为真 d的逆否命题为真解析：选d的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故a错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故b错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故c错；为真命题，其逆否命题也为真命题，d正确6集合ax|x|4，xr，bx|x5”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选aax|x|4，xrax|4x4，所以aba4，而a5a4，且a4/a5，所以“a5”是“ab”的充分不必要条件7已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()a1，) b(2，)c1，) d(，1)解析：选b1x2.又p是q的充分不必要条件，则k2，故选b.8给出下列四个命题：若x23x20，则x1或x2；若2x0的一个必要不充分条件是()ax0 bx4c|x1|1 d|x2|3解析：选c由f(x)x24x0，得x4.由|x1|1，得x2.由|x2|3，得x5，所以只有c是必要不充分条件故选c.11已知命题p：任意xr，使x2x2”是“x23x20”的充分不必要条件，下列结论：命题“p且q”是真命题；命题“p或綈q”是假命题；命题“綈p或q”是真命题；命题“綈p或綈q”是假命题上述结论中，正确结论的序号是_解析：p真，q真，p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设集合ax|x23x20，bx|ax1“xb”是“xa”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合解：ax|x23x201,2，由于“xb”是“xa”的充分不必要条件，ba.当b时，得a0；当b时，则当b1时，得a1；当b2时，得a.综上所述：实数a组成的集合是.18(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分(2)p：方程x2160的两根的符号不同；q：方程x2160的两根的绝对值相等解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，綈p：平行四边形的对角线不一定相等由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真(2)p或q：方程x2160的两根的符号不同或绝对值相等p且q：方程x2160的两根的符号不同且绝对值相等綈p：方程x2160的两根的符号相同由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假19(本小题满分12分)已知kr且k1，直线l1：yx1和l2：yxk.(1)求直线l1l2的充要条件；(2)当x1,2时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围解：(1)由题意得解得k2.当k2时，l1：yx1，l2：yx2，此时l1l2.直线l1l2的充要条件为k2.(2)设f(x)x1.由题意，得即解得1k2.k的取值范围是(1,2)20(本小题满分12分)已知集合a，bx|xm21若“xa”是“xb”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x12，x，y2，a.由xm21，得x1m2，bx|x1m2“xa”是“xb”的充分条件，ab，1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.21(本小题满分12分)设p：实数x满足x25ax4a20)，q：实数x满足2x5.(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，x25x40，解得1x4，即p为真时，实数x的取值范围是1x4.若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4)(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设ax|p(x)，bx|q(x)，则ba，由x25ax4a20得(x4a)(xa)0，所以a(a,4a)，又b(2,5，则a2且4a5，解得a2.所以实数a的取值范围为.22(本小题满分12分)已知命题：“对任意xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合b；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为a，若xa 是xb的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“对任意xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题，得x2xm(x2x)max，得m2，即bm|m2(2)不等式(x3a)(xa2)2a，即a1时，解集ax|2ax3a，若xa是xb的充分不必要条件，则ab，2a2，此时a(1，)；当3a2a，即a1时，解集a，若xa是xb的充分不必要条件，则ab成立；当3a2a，即a1时，解集ax|3ax2a，若xa是xb的充分不必要条件，则ab成立，3a2，此时a.综上可得a.- 7 -阶段质量检测（三） 圆锥曲线与方程(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y28x的焦点坐标是()a(2,0)b(2,0)c(4,0) d(4,0)解析：选b抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(2,0)2椭圆1的离心率是()a.b.c. d.解析：选b根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.3以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为()a.1b.1c.1或1d以上都不对解析：选c当顶点为(4,0)时， 对于双曲线，a4，c8，b4，则双曲线的标准方程为1；当顶点为(0，3)时，对于双曲线，a3，c6，b3，则双曲线的标准方程为1.4已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx解析：选ce21，则c的渐近线方程为yx.5已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()a. b1c2 d4解析：选c由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x.34，p2.6已知|3，a，b分别在y轴和x轴上运动，o为坐标原点，则动点p的轨迹方程是()a.y21 bx21c.y21 dx21解析：选a设p(x，y)，a(0，y0)，b(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点p的轨迹方程是y21.7已知f1，f2是椭圆的两个焦点，满足0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()a(0,1) b.c. d.解析：选c由题意知，点m的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb，c2b2.又b2a2c2，e2b0)由已知，得a(a,0)，b(0，b)，f(c,0)，则(c，b)， (a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，abf90.9(2019全国卷)双曲线c：1的右焦点为f，点p在c的一条渐近线上，o为坐标原点若|po|pf|，则pfo的面积为()a. b.c2 d3解析：选a法一：双曲线1的右焦点f(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点p在第一象限，由于|po|pf|，得点p的横坐标为，纵坐标为，即pfo的底边长为，高为，所以它的面积为.法二：不妨设点p在第一象限，根据题意可知c26，所以|of|.又tanpof，所以等腰三角形pof的高h，所以spfo.10已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：选d因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆c的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆方程为1.11(2019全国卷)设f为双曲线c：1(a0，b0)的右焦点，o为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2y2a2交于p，q两点若|pq|of|，则c的离心率为()a. b.c2 d.解析：选a设双曲线c：1(a0，b0)的右焦点f的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq是以of为直径的圆的直径，且pqof.设垂足为m，连接op，如图，则|op|a，|om|mp|.由|om|2|mp|2|op|2，得22a2，故，即e.12(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(1,0)，f2(1,0)，过f2的直线与c交于a，b两点若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则c的方程为()a.y21 b.1c.1 d.1解析：选b法一：设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|af1|ab|bf1|4a.|ab|bf1|，|af2|2|f2b|，|ab|bf1|af2|，|af1|3|af2|4a.又|af1|af2|2a，|af1|af2|a，点a是椭圆的短轴端点如图，不妨设a(0，b)，由f2(1,0)， 2，得b.由点b在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆c的方程为1.法二：由题意设椭圆c的方程为1(ab0)，连接f1a，令|f2b|m，则|af2|2m，|bf1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|f2a|a|f1a|，则点a为椭圆c的上顶点或下顶点令oaf2(o为坐标原点)，则sin .在等腰三角形abf1中，cos 2，所以122，解得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆c的方程为1.故选b.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13若椭圆c的焦点和顶点分别是双曲线1的顶点和焦点，则椭圆c的方程是_解析：由题意可知，双曲线1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆c的方程是1(ab0)，则a3，c，b2，所以椭圆c的方程为1.答案：114已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线xy2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析：抛物线xy2的方程化为标准形式为y24x，焦点坐标为(1,0)，则得a2b21，又e，易求得a2，b2，所以该双曲线的方程为5x2y21.答案：5x2y2115抛物线y24x的焦点为f，点p为抛物线上的动点，点m为其准线上的动点，当fpm为等边三角形时，其面积为_解析：据题意知，fpm为等边三角形，|pf|pm|fm|，pm抛物线的准线设p，则m(1，m)，等边三角形边长为1，又由f(1,0)，|pm|fm|，得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为4.答案：416以下是关于圆锥曲线的命题：设a，b为两个定点，k为非零常数，|k，则动点p的轨迹为双曲线；过定圆c上一定点a作圆的动点弦ab，o为坐标原点，若()，则动点p的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：对于，其中的常数k与a，b间的距离大小关系不定，所以动点p的轨迹未必是双曲线；对于，动点p为ab的中点，其轨迹为以ac为直径的圆；对于，显然成立答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知点a(0,4)，b(0，2)，动点p(x，y)满足y280.(1)求动点p的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线yx2交于c ，d两点，求证：ocod(o为原点)解：(
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