2019_2020学年高中数学第1章计数原理5.2二项式系数的性质学案北师大版.docx

5.2二项式系数的性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解杨辉三角2掌握二项式系数的性质(重点)3会用赋值法求系数和(难点)通过对二项式系数性质的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质对称性在(ab)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC_增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的. 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数C，C相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)CCC2nC2n.(2)CCCCCC2n1思考1：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示不是二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n1行对应数值相等思考2：杨辉三角有什么作用？提示利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数思考3：令f(k)C，k0,1,2，n，则直线k将函数f(k)的图像分成对称的两部分，即直线k是图像的对称轴，由此我们得到结论：当k时，C最大，这个结论正确吗？提示不正确当n是偶数时，C最大；当n是奇数时，CC最大1(12x)15的展开式中的各项系数和是()A1 B1C215D315B令x1即得各项系数和，所以各项系数和为1.2在(ab)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A第8项 B第7项 C第9项 D第10项C由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等3(1x)4的展开式中各项的二项式系数分别是()A1,4,6,4,1B1，4,6，4,1C(1)rC(r0,1,2,3)D(1)rC(r0,1,2,3,4)A杨辉三角第4行的数字即为二项式系数4如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14个与第15个数的比为23.34由已知，即，化简得，解得n34.与“杨辉三角”有关的问题【例1】如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值解由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.1如图所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_46由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.求展开式的系数的和【例2】设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求a0的值；(2)求a1a2a3a2 018的值；(3)求a1a3a5a2 017的值解(1)在等式(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018中，令x0，得1a0.a01.(2)在等式中，令x1，得1a0a1a2a2 018，a1a2a2 0180.(3)令x1，x1，得相减，得132 0182(a1a3a2 017)a1a3a2 017(132 018)解决二项式系数和的思维流程2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)|a0|a1|a7|.解(1)令x0，则a01.令x1，则a0a1a727128，a1a2a7129.(2)令x1，则a0a1a6a7(4)7，由得，2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)Tr1C(3x)7r(1)r，a2k10(kN)，a2k0(kN)|a0|a1|a7|a0a1a2a3a6a74716 384.二项式系数性质的应用探究问题1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示对称性，因为CC，也可以从f(r)C的图像中得到2计算，并说明你得到的结论提示.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小3二项式系数何时取得最大值？提示当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C，C相等，且同时取得最大值【例3】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx (3x2)4405x.1二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项3(12x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8，(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有5r6.r5或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n.1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A8 B6C4D2B由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.2(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3C该展开式共2n2项，中间两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_5(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.4已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.1(ax)5展开式的通项为Tk1(1)k