高中数学第二章概率2.4正态分布课堂导学案新人教B版选修.docx

2.4 正态分布课堂导学三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例1】设测量一条道路长度的误差x（单位：m)服从正态分布N（-5，202），求：（1）误差的绝对值不超过30 m的概率；（2）测得的长度小于道路真实长度的概率；（3）测得的长度比道路真实长度大35 m的概率.（查表，可得（1.75）=0.959 94,(1.25)=0.894 4,(2)=0.977 2,(0.25)=0.598 7)解析：（1）P(|x|30)=P(-30x30)=()-()=(1.75)-(-1.25)=(1.75)+(1.25)-1=0.854 34.(2)由误差的定义：测量值=真实值+误差.可见，题意要求的概率为P（x35）=1-P(x35)=1-()=1-(2)=0.022 8.温馨提示 求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例2】设任一正态总体N（,2）中取值小于x的概率为F（x)，标准正态总体N（0，1）中，取值小于x0的概率为（x0）.(1)证明F（x)可化为（x0）计算.（2）利用正态曲线的性质说明：当x取何值时，正态总体N（,2）相应的函数f(x)= (xR)有最大值，其最大值是多少？（1）证明：由正态总体N（,）的概率密度函数可知F(x)=（），即x0=.(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知，正态总体N（,2）的概率密度函数f(x)在x=时，取到最大值.温馨提示 注意正态曲线中,的几何意义.三、小概率事件【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径服从正态分布N（4,0.25），如果一批产品的合格率达到99.7%以上就认为这批产品是合格的.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽取一件，测得它的外直径为5.7 cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：要说明这批零件是否合格，就是要说明从这批零件中随机地取出一件，其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知，总体中个体取值的概率为99.7%所对应的区间为（-3,+3）,故只需判断5.7是否属于该区间即可.解：N（4，0.25），由正态分布的性质知，的取值落在区间（-3,+3）之内的概率为99.7%.由于=4,=0.5,-3=4-30.5=2.5,+3=4+30.5=5.5,即合格品的产品尺寸的取值范围是（2.5,5.5）.5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中小概率事件发生了，可以认为这批零件是不合格的.温馨提示 发生概率一般不超过5%的事件，称为小概率事件，它在一次试验中几乎不可能发生.各个击破类题演练 1 某学校学生的数学竞赛成绩服从正态分布N（42，36），如某个学生得48分，求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比.解析：由N(42,36),则=N（0，1）.因此，P（48)=F(48)=()=(1)0.84.因而有84%的学生成绩排在得48分的学生之后.变式提升 1某县农民平均收入服从=500元，=20元的正态分布.求：（1）此县农民的年均收入在500520元之间的人数的百分比.（2）此县农民年均收入超过540元的人数的百分比.解析：（1）正态曲线关于直线x=500对称，P（500X520）=P(480X520),=P(-X540)=P(X540)+P(X460)=1-P(460Xc),求c.解析：正态分布中，落在数学期望两边的概率相等，c=.变式提升 2如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P（|X-72|20）.解析：由图可知，=72,=10,(x)=10,x(-,+),P(|X-72|20)=P(|X-|2)=P(-2X+2)=0.944 5.类题演练 3已知某批建筑材料的强度服从N（200，182）的正态分布，现从中任取一件时，求：（1）取得这件材料的强度不低于180的概率；（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求？解析：（1）P（180)=1-P(180)=1-()=(1.11)=0.866 5,取得这件材料的强度不低于180的概率为86.65%.(2)P(150)=1-P(150)=1-()=1-(-2.78)=(2.78)=0.997 3,即从这批材料中任取一件，以概率99.73%（大于99%）保证强度不低于150，故这批材料符合提出的要求.变式提升 3公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高服从=168 cm,=7 cm的正态分布，即N(168,72),那么汽车车门的高度应如何确定？解析：设车门的高度为h cm,由