第1章 行列式

暨大珠院 第一章行列式 一 行列式的基本概念 二 行列式的性质与计算 三 克莱姆法则 暨大珠院 用消元法解二元线性方程组 一 二阶行列式的引入 暨大珠院 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 暨大珠院 定义 由四个数排成二行二列 并规定 则D称为二阶行列式 横排称行 竖排称列 的数表 暨大珠院 对于二元线性方程组 记 则二元线性方程组的解为 暨大珠院 例1 解 暨大珠院 二 三阶行列式 定义 由9个数排成3行3列构成的数 称为三阶行列式 表 并规定 暨大珠院 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 暨大珠院 例 解 按对角线法则 有 暨大珠院 解 方程左端 例3 暨大珠院 系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 暨大珠院 则解为 暨大珠院 例4解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 暨大珠院 同理可得 故方程组的解为 暨大珠院 定义1 由自然数1 2 n组成 例如 12345 51234 53214 都是数1 2 3 4 5的5级排列 排列与逆序 的一个有序数组称为一个n级排列 暨大珠院 n个数的不同排列有n 个 自然排列 按数的大小次序 由小到大排列 n元排列中 自然排列只有一种 除此之外 任一n元排列都一定出现较大数码排在较小数前面 暨大珠院 一个排列中出现的逆序的总数 称为这个排列的逆序数 定义2 在一个排列中 若某个较大的 数排在某个较小的数前面 就称这两 个数构成一个逆序 奇排列 逆序数为奇数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列 暨大珠院 的逆序数的方法 则此排列的逆序数为 的数记为 计算排列 大的数排在前面 记为 大的数排在前面 记为 继续下去 最后至数 前面比大 暨大珠院 解 例1 求排列32514的逆序数 例2 求排列453162的逆序数 练习 1 1 3 2n 1 2 4 2n 4 2 2 1 3 2n 1 2n 2n 2 暨大珠院 例2求13 2n 1 24 2n 的逆序数 解 在该排列中 1 2n 1 中每个奇数的逆序数全为0 2的逆序数为 n 1 4的逆序数为 n 2 2n 2 的逆境序数为1 2n的逆序数为0 于是该排列的逆序数为 暨大珠院 例3在1 9构成的排列中 求j k 使排列1274j56k9为偶排列解 由题可知 j k的取值范围为 3 8 当j 3 k 8时 经计算可知 排列127435689的逆序数为5 即为奇排列当j 8 k 3时 经计算可知 排列127485639的逆序数为10 即为偶排列 j 8 k 3 暨大珠院 例4设排列p1p2p3 pn的逆序数为k 求pn p3p2p1的逆序数 p1p2p3 pn是1 n的某一排列 解 排列p1p2p3 pn与排列pn p3p2p1的逆序数之和等于1 n这n个数中任取两个数的组合数即 暨大珠院 暨大珠院 共有n 个n级排列 其中奇偶排列各占一半 定理1 在n个数码 n 1 的全排列中 考虑 在1 2 3的全排列中 有3个偶排列 123 231 312 有3个奇排列 132 213 321 暨大珠院 定义3 把一个排列中的任意两个数交换位置 其余数码不动 叫做对该排列作一次 对换 简称对换 将相邻的两个数对换 称为相邻对换 暨大珠院 定理3 任意一个排列与标准排列 奇偶性相同 都可经过一系列对换互换 并且所作对换的次数与这个排列的 定理2 对换改变排列的奇偶性 即经过一次对换 奇排列变成偶排 列 偶排列变成奇排列 暨大珠院 一 n阶行列式的定义 1 二级行列式 暨大珠院 2 三级行列式 暨大珠院 观察上述三阶行列式 寻找规律 1 三阶行列式是3 项的代数和 2 每一项取自不同行 不同列的3个 元素的积 其任一项可写成 其中 是123的一个排列 3 当 是偶排列时 项 取正号 当 是奇排列时 项 取负号 暨大珠院 3 n级行列式 定义 n级行列式 素的乘积 等于所有取自不同行不同列的n个元 的代数和 这里 为 的排列 每一项都按下列规则带有符号 当为奇排列时带负号 当为偶排列时带正号 暨大珠院 其中 表示对所有n元排列取和 即 暨大珠院 注 第i行第j列的元素 i称为行指标 j称为列指标 3 n级行列式定义展开式中共有n 项 1 行列式常简记为或 主对角线 副对角线 暨大珠院 定义表明 计算n阶行列式 首 注 1 当n 1时 一阶行列式 此处 不是 的奇偶性来决定这一项的符号 序排列 然后看第二个下标 列标 所成 的元素的第一个下标 行标 按自然顺 不同列的n个元素的乘积 把这些乘积 先必须作出所有的可能的位于不同行 的绝对值 暨大珠院 例1计算行列式 暨大珠院 例2 暨大珠院 对角形行列式 一般地 暨大珠院 上三角形行列式 下三角形行列式 类似可得 暨大珠院 且最高次幂为 显然含的项有两项 与 即与 中的系数为 1 暨大珠院 这里表示对所有1 2 n的n级排列和 二 n级行列式的等价定义 暨大珠院 类似地 有 暨大珠院 四个结论 1 上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 暨大珠院 2 下三角形行列式 主对角线上侧元素都为0 暨大珠院 3 左上三角形行列式 副对角线右下侧元素都为0 暨大珠院 4 右下三角形行列式 副对角线左上侧元素都为0 暨大珠院 三 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等 称为D的转置行列式 暨大珠院 性质2 互换行列式的两行 列 如果行列式有两行 列 推论 性质3 用数k乘行列式的某一行 列 中所有元素 等于用数k乘此行列式 行列式的值变号 相同 则行列式为0 暨大珠院 暨大珠院 性质4 暨大珠院 即 如果某一行是两组数的和 则此行列式就等于两个行列式的和 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样 性质4 暨大珠院 有元素乘以同一数k后再加到另一 性质5 行列式的某一行 列 的所 行 列 对应的元素上去 行列 式的值不变 暨大珠院 定义 在n阶行列式中 把元素 所在的第i行第j列划去后 留下来 的n 1阶行列式叫元素 的代数余子式 的余子式 记作 称 为元素 暨大珠院 性质6 暨大珠院 性质7 行列式任一行 列 的元素与 另一行 列 的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零 即 暨大珠院 暨大珠院 暨大珠院 暨大珠院 暨大珠院 暨大珠院 暨大珠院 该行列式称为n阶范德蒙 Vandermonde 行列式 暨大珠院 证 从第n行开始 后行减去前行的倍 暨大珠院 暨大珠院 如上行列式称为 爪型 行列式 暨大珠院 一 Cramer法则 1 Cramer法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 暨大珠院 即 则线性方程组 1 有唯一解 暨大珠院 其中 是把系数行列式 中第 列的 元素用方程组右端的常数项代替后所 得到的 阶行列式 即 暨大珠院 Cramer法则仅适用于 注 1 方程个数与未知量个数相等 2 系数行列式不等于零的情形 暨大珠