机械制图—第二章 点、直线和平面

第二章 点 直线 平面的投影 第二章点 直线 平面的投影 2 2点的投影 2 3直线的投影 2 4平面的投影 2 5直线与平面 平面与平面的相对位置 2 1投影法的基本知识 2 1投影法的基本知识 一 投影法的概念 投射线通过物体 向选定的平面进行投射 并在该面上得到图形的方法 投影法 投射线 投射中心 空间物体 投影面 投影 2 1投影法的基本知识 二 投影法的分类 投影法有两类 中心投影法和平行投影法 中心投影法 平行投影法 2 1投影法的基本知识 三 投影法的基本特性 1 中心投影法 投影大小随物体位置变化 投影特性 投射中心 物体 投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响 度量性较差 2 1投影法的基本知识 三 投影法的基本特性 2 平行投影法 斜角投影法 投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好 投影方法 中心投影法 平行投影法 直角投影法 正投影法 斜角投影法 画透视图 画轴测图 画工程图样 投影法小结 1 投影法的分类 2 正投影法的性质 真实性 积聚性 类似性 2 2点的投影 一 点的两面投影 1 两面投影体系的建立 投影面 正立投影面 V面 水平投影面 H面 投影轴 OX轴 条件 两个投影面互相垂直 空间点用大写字母表示 点的投影用小写字母 加撇 表示 投影规定 2 2点的投影 一 点的两面投影 2 点的两面投影图 2 2点的投影 一 点的两面投影 3 点的两面投影规律 一个垂直 投影连线垂于相应的投影轴 两个相等 空间点到投影面的距离等于相应投影到轴的距离 a a OX aax Aa a ax Aa 2 2点的投影 二 点的三面投影 1 三面投影体系的建立 投影面 正面投影面 V面 水平投影面 H面 侧面投影面 W面 投影轴 OX轴V面与H面的交线 OZ轴V面与W面的交线 OY轴H面与W面的交线 条件 三个投影面互相垂直 2 点的三面投影 a 点A的正面投影 a 点A的水平投影 a 点A的侧面投影 作空间点A的三面投影 2 2点的投影 规定 空间点用大写字母表示 点的三个投影都用同一个小写字母表示 其中 H投影不加撇 V投影加一撇 W投影加两撇 X Y Z O V H W A a a a 3 点的三面投影的展开 保持V面不动 H面以OX为轴向下向后转90 W面以OZ为轴向右向后转90 省略掉投影面的范围线 得到点的三面投影图 2 2点的投影 4 点的三面投影规律 a a OX轴a a OZ轴 A到V面的距离 aax a az A到H面的距离 a ax a ay A到W面的距离 aay a az 垂直 投影连线垂直于相应的投影轴 相等 空间点到投影面的距离等于相应投影到轴的距离 2 2点的投影 5 点的三面投影规律的应用 例 已知点的两个投影 求第三投影 az 解法一 作45 辅助线 az 解法二 圆规直接量取 两种方法都是要保证 a az aax 2 2点的投影 2 2点的投影 三 特殊位置点的投影 特殊位置点是指 位于投影轴或投影面上的点 2 2点的投影 三 特殊位置点的投影 注意 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内 特殊位置点的投影规律 2 2点的投影 四 投影体系中的空间分角 2 2点的投影 五 点的投影与直角坐标系的关系 点的每个投影反映两个坐标 V投影反映高标和横标 H投影反映纵标和横标 W投影反映高标和纵标 2 2点的投影 五 点的投影与直角坐标系的关系 一般位置点 空间点的三个坐标值X Y Z均不为零 称该点为一般位置点 一般位置点 X Y Z 例 已知点A 20 15 25 求作其三面投影图 2 2点的投影 五 点的投影与直角坐标系的关系 V面上点 X 0 Z H面上点 X Y 0 W面上点 0 Y Z 3 原点上的点 0 0 0 X轴上点 X 0 0 Y轴上点 0 Y 0 Z轴上点 0 0 Z 1 投影面上的点 空间点的坐标值有一个为零 2 投影轴上点 空间点的坐标值有两个为零 特殊位置点 六 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下 前后 左右位置关系 判断方法 x坐标分左右 大的在左 y坐标风前后 大的在前 z坐标分上下 大的在上 b a a a b b X YH YW Z 如右图可知 B点在A点之前 之右 之下 2 2点的投影 六 两点的相对位置 2 2点的投影 例 如图 已知点A的三投影 另一点B在点A上方8mm 左方12mm 前方10mm处 求点B的三个投影 作图步骤 1 在a 左方12mm 上方8mm处确定b 2 作b b OX 且在a前10mm处确定b 3 按投影关系求得b 七 重影点及其可见性 2 2点的投影 当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时 这两点在该投影面上的投影重合 称这两点为对该投影面的重影点 点A B称为对H面的重影点 而点C D则称为对V面的重影点 七 重影点及其可见性 重影点可见性的判断 前遮后 左遮右 上遮下 不可见的投影加圆括号 2 2点的投影 2 3直线投影 一 直线的投影 直线的投影 两点确定一条直线 将两点的同面投影用直线连接 就得到直线的同面投影 2 倾角的概念 直线对H V W面的倾角分别记作 二 各种位置的直线及其投影特性 一般位置直线 投影面平行线 正平线 平行于 面 侧平线 平行于 面 水平线 平行于 面 投影面垂直线 正垂线 垂直于 面 侧垂线 垂直于 面 铅垂线 垂直于 面 统称特殊位置直线 与三个投影面都倾斜的直线 直线的投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置 2 3直线投影 1 一般位置直线的投影特性 三个投影都倾斜于投影轴 投影特性 三个投影不反映与投影面夹角的实际大小 三个投影的长度都不反映空间线段的实长 2 3直线投影 2 投影面平行线的投影特性 水平线 侧平线 正平线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 并反映直线与另两投影面倾角的实大 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 投影特性 2 3直线投影 3 投影面垂直线的投影特性 铅垂线 正垂线 侧垂线 另外两个投影 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 在其垂直的投影面上 投影有积聚性 投影特性 2 3直线投影 三 直线上点的投影 判别点在直线上的方法 从属性 若点在直线上 则点的投影必在直线的同面投影上 等比性 点分线段所成比例投影后保持不变 AC CB ac cb a c c b a c c b 2 3直线投影 例 判断点C是否在线段AB上 用从属性判断 如何用等比性判断 在 不在 不在 a b 2 3直线投影 例2 已知点K在线段AB上 求点K正面投影 解法一 应用第三投影 解法二 应用定比定理 a b 2 3直线投影 四 两直线的相对位置 空间两直线相对位置分 平行 相交 交叉 两直线平行 投影特性 空间两直线平行 则其各同面投影必相互平行 或重合 反之亦然 2 3直线投影 例 判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同面投影互相平行 空间两直线就平行 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 要求出侧面投影判断 AB CD AB与CD不平行 2 3直线投影 两直线相交 特点 交点是两直线的共有点 若空间两直线相交 则其同面投影必相交 且交点的投影必符合空间点的投影规律 判别方法 2 3直线投影 例 过C点作水平线CD 且与AB相交 分析 CD为水平线 所以其正面投影平行于OX轴 因此 先作出CD的正面投影 从而找到CD与AB交点的正面投影 2 3直线投影 例2 判断直线AB CD的相对位置 c d a b c d 相交吗 不相交 为什么 交点不符合空间一个点的投影特性 判断方法 应用定比定理 利用侧面投影 平行吗 不平行 2 3直线投影 两直线交叉 1 2 3 4 投影特性 同面投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 2 3直线投影 2 3直线投影 五 直角投影定理 若直角的两边 相交或交叉 有一边平行于某个投影面 另一边不垂直于该投影面 则此直角在该投影面上的投影仍为直角 2 3直线投影 五 直角投影定理 逆定理 若两直线 相交或交叉 在某个投影面上的投影互相垂直 且其中有一直线平行于该投影面 则此两直线必互相垂直 例 过C点作直线与AB垂直相交 a b c b c AB为正平线 正面投影反映直角 分析 2 3直线投影 六 直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 2 3直线投影 分析 过A点作AC ab 则得到直角三角形ABC 在该三角形中AC ab BC Bb Aa Z Z A B两点的Z坐标差 而 BAC即 角 斜边即AB实长 六 直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 2 3直线投影 Z b Z X a b a 作图步骤 直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角 实长AB H投影长 ab Z坐标差 zA zB 角实长AB V投影长 a b Y坐标差 yA yB 角实长AB W投影长 a b X坐标差 xA xB 角 注意对应关系 六 直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 2 3直线投影 六 直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 2 3直线投影 例 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 方法一 方法二 六 直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 2 3直线投影 例 已知线段AB 25mm及其投影ab和a 试求该线段的V投影a b 七 直线的迹点 2 3直线投影 直线与投影面的交点 称为直线的迹点 与水平投影面的交点称为水平面迹点 用M标注 与正面投影面的交点称为正面迹点 用N标注 与侧面投影面的交点称为侧面迹点 用S标注 七 直线的迹点 2 3直线投影 迹点投影特点 1 因迹点是直线上的点 所以迹点的投影必在直线的同面投影上 2 因迹点是投影面上的点 所以迹点的一个投影必在投影轴上 七 直线的迹点 2 3直线投影 1 延长a b 使之与X轴交于点m 2 由m 引X轴的垂线 与ab的延长线交于m 3 延长ab 使其与X轴交于点n 4 由n引X轴的垂线 与a b 的延长线交于n 例 试求直线AB的M N迹点 2 4平面的投影 一 平面的表示法 不共线的三个点 直线及线外一点 平行两直线 相交两直线 平面图形 2 4平面的投影 一 平面的表示法 平面和投影面的交线 称为平面的迹线 平面的迹线也可以表示平面 平面和H面的交线 称为水平迹线PH 和V面的交线 称为正面迹线PV 和W面的交线 称为侧面迹线PW 二 平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 平面平行投影面 投影就把实形现 真实性 平面倾斜投影面 投影类似原平面 类似性 平面垂直投影面 投影积聚成直线 积聚性 投影特性 2 4平面的投影 平面在三投影面体系中的投影特性 一般位置平面 投影面平行面 投影面垂直面 平面对于三投影面的位置可分为三类 2 4平面的投影 1 一般位置平面的投影特性 2 4平面的投影 一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行 所以 如用平面形表示一般位置平面 则它的三个投影均不是实形 但具有类似性 2 投影面垂直面的投影特性 2 4平面的投影 V W H 2 投影面垂直面的投影特性 2 4平面的投影 铅垂面 投影特性 1 abc积聚为一条线 2 a b c a b c 为 ABC的类似形 3 abc与OX OY的夹角反映 角的真实大小 2 投影面垂直面的投影特性 2 4平面的投影 正垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条线 2 abc a b c 为 ABC的类似形 3 a b c 与OX OZ的夹角反映 角的真实大小 投影特性 1 a b c 积聚为一条线 2 abc a b c 为 ABC的类似形 3 a b c 与OZ OY的夹角反映 角的真实大小 2 投影面垂直面的投影特性 2 4平面的投影 侧垂面 2 投影面垂直面的投影特性 2 4平面的投影 总结投影面垂直面的投影特性是 1 在其所垂直的投影面上 投影为斜直线 有积聚性 该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角 2 在另外两个投影面上的投影不是实形 但具有类似性 3 投影面平行面的投影特性 2 4平面的投影 如平面用平面形表示 则其在所平行的投影面上的投影 反映平面形的实形 2 在另外两个投影面上的投影均为直线段 有积聚性 且平行于相应的投影轴 a c b c a a b c b 例 正垂面ABC与H面的夹角为45 已知其水平投影及顶点B的正面投影 求 ABC的正面投影及侧面投影 思考 此题有几个解 2 4平面的投影 三 平面上的点和直线 1 平面上的点 点在平面上 则该点必定在该平面的某条直线上 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线 然后再在该直线上确定点的位置 面上取点的方法 点在面上的条件 即 把平面上取点 转变为直线上取点的问题 一般位置平面上取点 辅助线法 特殊位置平面上取点 积聚性法 2 4平面的投影 1 平面上取点 例 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 一般位置平面 特殊位置平面 2 4平面的投影 2 平面上取任意直线 2 4平面的投影 d n m 例 已知平面由直线AB AC确定 试在平面内任作一条直线 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 此题几解 思考问题 2 4平面的投影 例 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 1 此题几解 3 平面上取特殊直线 思考问题 2 如何作正平线 2 4平面的投影 例 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 k b 解法一 解法二 2 4平面的投影 d e 例5 在 ABC内取一点M 并使其到H面V面的距离均为10mm 2 4平面的投影 2 5线与面 面与面的相位置 相对位置包括平行 相交和垂直 一 平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 1 直线与平面平行 平行问题 例2 过M点作直线MN平行于V面和平面ABC a c b m a b c m 例1 过M点作直线MN平行于平面ABC c b a m a b c m 2 5线与面 面与面的相位置 两平面平行 若一平面上的两相交直线与另一平面上的两相交直线对应平行 则这两平面相互平行 若两投影面垂直面相互平行 则它们具有积聚性的那组投影必相互平行 2 5线与面 面与面的相位置 二 相交问题 包括直线与平面相交和平面与平面相交 1 直线与平面相交 直线与平面相交 其交点是直线与平面的共有点 要解决的问题 求直线与平面的交点 判别两者之间的相互遮挡关系 即判别可见性 重点掌握 直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况 2 5线与面 面与面的相位置 平面为特殊位置 例 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 a b c m n c n b a m 1 2 直线为特殊位置 k m n b m n c b a a c 1 2 2 5线与面 面与面的相位置 二 相交问题 要解决的问题 判别两者之间的相互遮挡关系 即判别可见性 重点 两面中至少有一个是特殊位置 2 两平面相交 两平面相交其交线为直线 交线是两平面的共有线 同时交线上的点都是两平面的共有点 求两平面的交线 方法 确定两平面的两个共有点 2 5线与面 面与面的相位置 例1 求两平面的交线MN 并判别可见性 a b c d e f c f d b e a m n 1 空间及投影分析 交线必为一条正垂线 只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影 求交线 判别可见性 2 作图 2 5线与面 面与面的相位置 例1 求两平面的交线MN 并判别可见性 2 5线与面 面与面的相位置 b