数值分析ex12-13《数值分析》习题课 II

高斯消元法矩阵的三角分解雅可比迭代与赛德尔迭代迭代法收敛定理最速下降法 数值分析 习题课II 2 20 一 高斯消元法 三角方程组解法 顺序消元法 列主元法 追赶法 二 矩阵的三角分解矩阵的紧凑格式分解 改进平方根法 三 向量范数和矩阵范数常用的三种向量范数 常用的三种矩阵范数 条件数 四 迭代法及收敛性分析雅可比迭代法 高斯 赛德尔迭代 收敛定理 误差定理 初等变分原理 定理3 1约化主元ak 1 k 1 k 0 k 0 1 n 1 的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不为零 Ex1 如果A是严格主对角占优矩阵 则det A 0 证 用反证法 设det A 0 则齐次方程组Ax 0有非零解u u1 u2 un T 设考虑Au 0的第k个等式 3 20 4 20 两边约去 uk 得 这与主对角占优矛盾 故det A 0 Ex2 设A对称且a11 0 经过高斯消元法一步后 A约化为 证明A2也是对称矩阵 证明 设 经高斯消元一步后 得 5 20 所以 A2 A2T 思考 1 若A是对称正定矩阵 经高斯消元一步后 右下角子矩阵A2也是对称正定矩阵 2 若A为对角占优矩阵 经过高斯消元法一步后 右下角子矩阵A2也是对角占优矩阵 Ex3 对任何一种矩阵的算子范数 证明矩阵A的谱半径与A的范数有关系 A A 证 设 是矩阵A任一特征值 x是对应的特征向量 则 Ex4 若矩阵A是n阶对称矩阵 则有 证 设 是A的任一特征值 由于A对称 故 2是矩阵ATA的特征值 即 6 20 7 20 由2 范数计算公式 Ex5 对任意x y Rn 利用向量范数的三角形不等式证明 证 x x y y x y y x y x y 同理 y x y x x y x y x y x y x y x y Jacobi迭代法的迭代矩阵 8 20 Gauss Seidel迭代法的矩阵 BG S D L 1U Ax b 将矩阵分裂 A D U L BJ D 1 U L 特征多项式与特征方程 I D 1 U L D 1 D U L D U L 0 特征多项式与特征方程 I D L 1U D L 1 D L U D L U 0 9 20 Ex6 若A是严格主对角占优矩阵 求证解方程组AX b的高斯 赛德尔迭代法收敛 证 高斯 赛德尔迭代矩阵为 D L 1U 该矩阵的特征方程为 D L U 0 行列式对应的矩阵为 当 1时 利用A矩阵的主对角占优性质 得 故C 也是严格主对角占优矩阵 由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零 故 不是特征方程C D L U 0的根 所以当A是严格主对角占优矩阵时 D L 1U的特征值必然满足 1 从而高斯 赛德尔迭代矩阵谱半径小于1 迭代法收敛 10 20 11 20 Ex7 证明 当 1时 二阶约当块的方幂Jm极限值为零 证 由于 假设 则有 由数学归纳法知 12 20 而 1 故 思考 三阶约当块 的方幂Jm表达式结构 13 20 Ex8 设A是一个可逆矩阵 矩阵序列满足Xk 1 Xk 2I AXk k 0 1 2 证明 当时 证明 由Xk 1 Xk 2I AXk 得I AXk 1 I AXk 2I AXk I AXk 2于是I AXk I AXk 1 2 I AXk 2 2 2 14 20 15 20 练习2 设A aij n n为可逆下三角矩阵 证明A 1仍为下三角矩阵 练习1 分析求解三对角方程组追赶法的计算工作量 练习3 设A aij n n为可逆上三角矩阵 证明A 1仍为上三角矩阵 练习4 用列主元法解方程组 练习5 求矩阵的2 范数 以及2 范数意义下的条件数 16 20 练习6 设A aij n n为实对称正定矩阵 x Rn b Rn 如果u使二次函数 取极小值 证明u是线性方程组Ax b的解 练习8 有方程组Ax b 其中A为对称正定阵 且有迭代公式 讨论使迭代序列收敛的 的取值范围 练习7 写出n维向量序列 X k 收敛于向量X 的定义 设 而B是n阶方阵 证明 17 20 1 A 1 B I R R2 2 任意给定n阶矩阵X0 由迭代格式Xk 1 XkR B k 0 1