2016年深圳市南山区五校联考中考数学三模试卷含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年广东省深圳市南山区五校联考中考数学三模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 2 的倒数是（ ） A 2 B 2 C D 2横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ 中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长 4 770 米，这个数字用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（ ） A 47 102 B 103 C 103 D 103 3如图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A 线段 B 三角形 C 正方形 D 圆 4下列运算正确的是（ ） A 2 a3=（ 2=（ x+y） 2=x2+如图是由八个 相同小正方体组合而成的几何体，则其俯视图是（ ） A B C D 6在 2， 1， 2， 1， 4， 6 中正确的是（ ） A平均数 3 B众数是 2 C中位数是 1 D极差为 8 7某商品的进价是 80 元，打 8 折售出后，仍可 获利 10%，你认为标在标签上的价格为（ ） A 110 元 B 120 元 C 150 元 D 160 元 8下列命题是真命题的有（ ） 对顶角相等； 两直线平行，内错角相等； 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； 有三个角是直角的四边形是矩形； 第 2 页（共 23 页） 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 A B 2 个 C 3 个 D 4 个 9如图，沿 叠矩形纸片 点 D 落在 的点 F 处已知 ， 0，则 值为（ ） A B C D 10在湖边高出水面 50 m 的山顶 A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志 P 处的仰角为 45，又观其在湖中之像的俯角为 60则飞艇离开湖面的高度（ ） A B C D 11如图，二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 1， 3，则下列结论正确的个数有（ ） 0； 2a+b=0； 4a+2b+c 0； 对于任意 x 均有 a+b A 1 B 2 C 3 D 4 12已知：如图， 5， ，作正方形 积记作 作第二个正方形 积记作 续作第三个正方形 积记作 3、 射线 ，点 射线 ， 依此类推，则第 6 个正方形的面积 （ ） 第 3 页（共 23 页） A 256 B 900 C 1024 D 4096 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13分解因式： 4a= 14一个口袋有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中， ，不断重复上述过程，小明共摸了 100次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是 15如图，已知 O 的直径 弦 交于点 E， O 的切线 弦 延长线相交于点 F若 O 的半径为 5， ，那么线段 16已知四边形 菱形， x 轴，垂足为 D，函数 的图象经过点 C，且与 ，若 ，则 面积为 三、解答题：（本大题共 7 小题，其中第 17 小题 5 分，第 18 小题 6 分，第 19 小题 7 分，第 20 小题 8 分，第 21 小题 8 分，第 22 小题 9 分，第 23 小题 9 分， 共 52 分） 17计算： | |+ 4 第 4 页（共 23 页） 18先化简 ，然后从 3 a 3 的范围内选取一个你认为合适的整数作为 a 的值代入求值 19今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为 四个等级： A非常了解； B比较了解； C基本了解； D不了解根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表 对雾霾了解程度的统计表： 对雾霾的了解程度 百分比 A非常了解 5% B比较了解 m C基本了解 45% D不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题 （ 1）本次参与调查的学生共有 人， m= ， n= ； （ 2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 度； （ 3）请补全图 1 示数的条形统计图； （ 4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾 知识竞赛，某班要从 “非常了解 ”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字 1， 2， 3， 4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平 20为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少 3 万元，如果 提升相同数量的套房，甲种套房费用为 625 万元，乙种套房费用为 700 万元 （ 1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （ 2）如果需要甲、乙两种套房共 80 套，市政府筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ （ 3）在（ 2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高 a 万元（ a 0），市政府如何确定方案才能使费用最少？ 21如图，正方形 ， D=6， 梯形 ， E， 分 F，连结 第 5 页（共 23 页） （ 1）证明： F； （ 2）当 时，求 长 22如图，在平面直角坐标系中，圆 D 与 y 轴相切于点 C（ 0， 4），与 x 轴相交于 A、 B 两点，且 （ 1）则 D 点的坐标是 （ ， ），圆的半径为 ； （ 2） ；经过 C、 A、 B 三点的抛物线的解析式 ； （ 3）设抛物线的顶点为 F，证明直线 圆 D 相切； （ 4）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 积最大，最大值是多少，并求出 N 点坐标 23如图，抛物线与 x 轴交于 A（ 0）、 B（ 0）两点，且 y 轴交于点 C（ 0， 4），其中 方程 4x 12=0 的两个根 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）点 M 是线段 的一个动点，过点 M 作 点 N，连接 面积最大时，求点 M 的坐标； （ 3）点 D（ 4， k）在（ 1）中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A、 D、 E、 F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 23 页） 2016 年广东省深圳市南山区五校联考中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 2 的倒数是（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 倒数 【分析】 根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 【解答】 解： 2 的倒数是 ， 故选： C 2横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ 中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长 4 770 米，这个数字用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（ ） A 47 102 B 103 C 103 D 103 【考点】 科学记数法与有效数字 【分析】 科学记数法的表示 形式为 a 10n 的形式其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 有效数字是从左边第一个不是 0 的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关 【解答】 解： 4 770 103 故选 C 3如图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A 线段 B 三角形 C 正方形 D 圆 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 第 7 页（共 23 页） 【解答】 解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、是轴对称图形，也是中心对称图形 故选 B 4下列运算正确的是（ ） A 2 a3=（ 2=（ x+y） 2=x2+考点】 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法 【分析】 A、原式不能合并，本选项错误； B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断； C、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； D、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断 【解答】 解： A、原式不能合并，本选项错误； B、 a3=选项错误； C、（ 2=选项正确； D、（ x+y） 2=xy+选项错误， 故选 C 5如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其俯视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 俯视图是从图形 的上面看所得到的图形，根据小正方体的摆放方法，画出图形即可 【解答】 解：俯视图有 3 列，从左往右分别有 2， 1， 2 个小正方形，其俯视图是 故选： A 6在 2， 1， 2， 1， 4， 6 中正确的是（ ） A平均数 3 B众数是 2 C中位数是 1 D极差为 8 【考点】 极差；算术平均数；中位数；众数 【分析】 根据平均数、众数、中位数、极差的定义即可求解 【解答】 解： A、这组数据的平均数为：（ 2+1+2+1+4+6） 6=12 6=2，故 A 选项错 误； B、在这一组数据中 1 是出现次数最多的，故众数是 1，故 B 选项错误； C、将这组数据从小到大的顺序排列为： 2， 1， 1， 2， 4， 6，处于中间位置的两个数是 1，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是：（ 1+2） 2= C 选项错误； D、极差 6（ 2） =8，故 D 选项正确 故选： D 第 8 页（共 23 页） 7某商品的进价是 80 元，打 8 折售出后，仍可获利 10%，你认为标在标签上的价格为（ ） A 110 元 B 120 元 C 150 元 D 160 元 【考点】 一元一次方程的应用 【分析】 设标在标签上的价格为 x 元，依据题意建立等量关系商品标价 8 折 =进价 （ 1+10%），依此列方程求解即可 【解答】 解：设标在标签上的价格为 x 元，依据题意得： 80%x=80 （ 1+10%） 解得： x=110， 所以标在标签上的价格为 110 元， 故选： A 8下列命题是真命题的有（ ） 对顶角相等； 两直线平行，内错角相等； 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； 有三个角是直角的四边形是矩形； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 A B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 命题与定理 【分析】 根 据有关的定理和定义作出判断即可得到答案 【解答】 解： 对顶角相等正确，是真命题； 两直线平行，内错角相等正确，是真命题； 两个锐角对应相等的两个直角三角形应该是相似，而不是全等，原命题错误，是假命题； 有三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题错误，是假命题， 故选： C 9如图，沿 叠矩形纸片 点 D 落在 的点 F 处已知 ， 0，则 值为（ ） A B C D 【考点】 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义 【分析】 根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决 【解答】 解：根据题意可得：在 ，有 ， D=10， ， 而 有 = 故选 A 第 9 页（共 23 页） 10在湖边高出水面 50 m 的山顶 A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志 P 处的仰角为 45，又观其在湖中之像的俯角为 60则飞艇离开湖面的高度（ ） A B C D 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 设 AE=x，则 E=x，根据山顶 A 处高出水面 50m，得出 0， x+50，根据 P0，得出 PE= x，从而列出方程，求出 x 的值即可 【解答】 解：设 AE= 5，则 P=45， E=x， 山顶 A 处高出水面 50m， 0m， E+OE=x+50， P0， PE=x， PE x 50， x+50= x 50， 解得： x=50（ +1）（ m）， E+0（ +1+50=50 +100（ m）， 即飞艇离开湖面的高度是（ 50 +100） m； 故选： D 11如图，二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 1， 3，则下列结论正确的个数有（ ） 0； 2a+b=0； 4a+2b+c 0； 对于任意 x 均有 a+b A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 二次函数图象与系数的关系 第 10 页（共 23 页） 【分析】 首先根据二次函数图象开口方向可得 a 0，根据图象与 y 轴交点可得 c 0，再根据二次函数的对称轴 x= ，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1，根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b 0 进而解答即可 【解答】 解：根据图象可得：抛物线开口向上，则 a 0抛物线与 y 交与负半轴，则 c 0， 故 0 正确； 对称轴： x= 0， 它与 x 轴的 两个交点分别为（ 1， 0），（ 3， 0）， 对称轴是 x=1， =1， b+2a=0， 故 2a+b=0 正确； 把 x=2 代入 y=bx+c=4a+2b+c，由图象可得 4a+2b+c 0， 故 4a+2b+c 0 错误； 对于任意 x 均有 a+b， 故 正确； 故选 C 12已知：如图， 5， ，作正方形 积记作 作第二个正方形 积记作 续作第三个正方形 积记作 3、 射线 ，点 射线 ， 依此类推，则第 6 个正方形的面积 （ ） A 256 B 900 C 1024 D 4096 【考点】 正方形的性质 【分析】 判断出 等腰直角三角形，求出第一个正方形 边长为 1，再求出 等腰直角三角形，再求出第 2 个正方形 边长为 2，然后依次求出第 3 个正方形的边长，第 4 个正方形的边长第 5 个正 方形的边长，第 6 个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解 【解答】 解： 5， 等腰直角三角形， ， 正方形 边长为 1， 第 11 页（共 23 页） 5， 等腰直角三角形， 正方形 边长为： 1+1=2， 同理，第 3 个正方形 边长为： 2+2=4， 第 4 个正方形 边长为： 4+4=8， 第 5 个正方形 边长为： 8+8=16， 第 6 个正 方形 边长为： 16+16=32， 所以，第 6 个正方形的面积 ： 322=1024 故选 C 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13分解因式： 4a= a（ x 2） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 a，再利用完全平方公式进行二次分解 【解答】 解： 4a， =a（ 4x+4）， =a（ x 2） 2 14一个口袋有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中 随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中， ，不断重复上述过程，小明共摸了 100次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是 12 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球，则有 80 次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1： 4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为 1： 4；即可计算出白球数 【解答】 解： 3 =12（个） 故答案为： 12 15如图，已知 O 的直径 弦 交于点 E， O 的切线 弦 延长线相交于点 F若 O 的半径为 5， ，那么线段 8 【考点】 切线的性质；勾股定理；垂径定理 【分析】 由圆周角定理可证得 后利用三角函数的性质求得答案 【解答】 解： O 的直径， 0， 第 12 页（共 23 页） ， 在 ， 0， = ， B0 =8， 故答案为： 8 16已知四边形 菱形， x 轴，垂足为 D，函数 的图象经过点 C，且与 ，若 ，则 面积为 4 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；平移的性质 【分析】 由 结合反比例函数的解析式可得出点 C 的坐标，由此即可得出直线 解析式和线段 长度，根据菱形的性质结合平移的性质即可得出直线 解析式，联立直线 解析式与反比例函数的解析式成方程组，解方程组即可得出点 E 的坐标，再通过分割图形求面积法找出 S 梯 形 用梯形的面积公式即可得出结论 【解答】 解：过点 E 作 x 轴于点 F，如图所示 ， 点 C 的横坐标为 2， 点 C 在反比例函数 y= 的图象上， 点 C 的坐标为（ 2， 4）， 直线 解析式为 y=2x， =2 四边形 菱形， C=2 ， 直线 解析式为 y=2（ x 2 ） =2x 4 第 13 页（共 23 页） 联立直线 解析式和反比例函数解析式成方程组： ， 解得： （舍去），或 ， 点 E 的坐标为（ 3+ ， 6 2 ） S 梯形 S 梯形 （ F） （ yC+（ （ 4+6 2 ） （ 3+ 2） =4 故答案为： 4 三、解答题：（本大题共 7 小题，其中第 17 小题 5 分，第 18 小题 6 分，第 19 小题 7 分，第 20 小题 8 分，第 21 小题 8 分，第 22 小题 9 分，第 23 小题 9 分，共 52 分） 17计算： | |+ 4 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 | |+ 4 的值是多少即可 【解答】 解： | |+ 4 = +3 4 1 = +3 1 =2 18先化简 ，然后从 3 a 3 的范围内选取一个你认为合适的整数作为 a 的值代入求值 【考点】 分式的化简求值 【分析】 这道 求代数式值的题目，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再选择可使分式有意义的值代入即可求得结果 【解答】 解：原式 = 在 3 a 3 范围的整数中，只有 1 可取， 若令 a= 1，则原式 = =1 19今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： A非第 14 页（共 23 页） 常了解； B比较了解 ； C基本了解； D不了解根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表 对雾霾了解程度的统计表： 对雾霾的了解程度 百分比 A非常了解 5% B比较了解 m C基本了解 45% D不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题 （ 1）本次参与调查的学生共有 400 人， m= 15% ， n= 35% ； （ 2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 126 度； （ 3）请补全图 1 示数的条形统计图； （ 4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从 “非常了解 ”态度的小明和小 刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字 1， 2， 3， 4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平 【考点】 游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法 【分析】 （ 1）根据 “基本了解 ”的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可 得 m， n 的值； （ 2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360的比可得出统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角； （ 3）根据 D 等级的人数为： 400 35%=140；可得（ 3）的答案； （ 4）用树状图列举出所有可能，进而得出答案 【解答】 解：（ 1）利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有： 180 45%=400； m= 100%=15%， n=1 5% 15% 45%=35%； （ 2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是： 360 35%=126； （ 3） D 等级的人数为： 400 35%=140； 如图所示： 第 15 页（共 23 页） ； （ 4）列树状图得： 所以从树状图可以看出所有可能的结果有 12 种，数字之和为奇数的有 8 种， 则小明参加的概率为： P= = ， 小刚参加的概率为： P= = ， 故游戏规则不公平 故答案为： 400， 15%， 35%； 126 20为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少 3 万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为 625 万元，乙种套房费用为 700 万元 （ 1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （ 2）如果需要甲、乙两种套房共 80 套，市政府筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096万元，且所筹资金全部用 于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ （ 3）在（ 2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高 a 万元（ a 0），市政府如何确定方案才能使费用最少？ 【考点】 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用 【分析】 （ 1）设甲种套房每套提升费用为 x 万元，根据题意建立方程求出其解即可； （ 2）设甲种套房提升 m 套，那么乙种套房提升（ 80 m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与 m 之间的 函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论； （ 3）根据（ 2）表示出 W 与 m 之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论 【解答】 （ 1）设甲种套房每套提升费用为 x 万元，依题意， 得 解得： x=25 经检验： x=25 符合题意， x+3=28 第 16 页（共 23 页） 答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为 25 万元， 28 万元 （ 2）设甲种套房提升 m 套，那么乙种套房提升（ 80 m）套，依题意，得 解得： 48 m 50 即 m=48 或 49 或 50，所以有三种方案分别是： 方案一：甲种套房提升 48 套，乙种套房提升 32 套 方案二：甲种套房提升 49 套，乙种套房提升 31 套， 方案三：甲种套房提升 50 套，乙种套房提升 30 套 设提升两种套房所需要的费用为 W 元则 W=25m+28 （ 80 m） = 3m+2240， k= 3 0， W 随 m 的增大而减小， 当 m=50 时， W 最少 =2090 元，即第三种方案费用最少 （ 3）在（ 2）的基础上有： W=（ 25+a） m+28 （ 80 m） =（ a 3） m+2240 当 a=3 时，三种方案的费用一样，都 是 2240 万元 当 a 3 时， k=a 3 0， W 随 m 的增大而增大， m=48 时，费用 W 最小 当 0 a 3 时， k=a 3 0， W 随 m 的增大而减小， m=50 时， W 最小，费用最省 21如图，正方形 ， D=6，梯形 ， E， 分 F，连结 （ 1）证明： F； （ 2）当 时，求 长 【考点】 正方形的性质；全等 三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可； （ 2）设 EF=x，根据勾股定理解答即可 【解答】 证明：（ 1） 正方形 又 0= 又 A= 且 D， 第 17 页（共 23 页） 在 ， ， C，且 C 在 ， ， F （ 2） ， C=2 设 EF=x，则 x， 2=4 由勾股定理，得 8 x） 2+42 解之，得 x=5， 即 22如图，在平面直角坐标系中，圆 D 与 y 轴相切于点 C（ 0， 4），与 x 轴相交于 A、 B 两点，且 （ 1）则 D 点的坐标是 （ 5 ， 4 ），圆的半径为 5 ； （ 2） ；经过 C、 A、 B 三点的抛物线的解析式 y= x+4 ； （ 3）设抛物线的顶点为 F，证明直线 圆 D 相切； （ 4）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 积最大，最大值是多少，并求出 N 点坐标 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）连接 y 轴，过点 D 作 点 E，则根据垂径 定理可得E=3，连接 可求出 圆的半径，也可得出点 D 的坐标； （ 2）根据 S 得出 用待定系数法可求出经过 C、 A、 B 三点的抛物线的解析式 （ 3）因为 D 为圆心， A 在圆周上， DA=r=5，故只需证明 0，利用勾股定理的逆定理证明 0即可 第 18 页（共 23 页） （ 4）设存在点 N，过点 N 作 y 轴平行， 交 点 P，求出直线 解析式，设点N 坐标（ a， ），则可得点 P 的坐标为（ a， a+4），从而根据S 示出 面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点 【解答】 （ 1）解：连接 y 轴， 过点 D 作 点 E，则 直平分 ， ， 在 ， = =5， 故可得点 D 的坐标为（ 5， 4），圆的半径为 5； （ 2）解：在 ， = =2 ， 在 ， = =4 ， S = ； 设经过点 A、 B、 C 三点的抛物线解析式为： y=bx+c， 将三点坐标代入可得： ， 解得： ， 故经过 C、 A、 B 三点的抛物线的解析式为： y= x+4 （ 3）证明：因为 D 为圆心， A 在圆周上， DA=r=5，故只需证明 0， 抛物线顶点坐标： F（ 5， ）， + = ， = ， 第 19 页（共 23 页） 2+（ ） 2= =（