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九年级数学下册第2章二次函数阶段专题复习课件湘教版20200323326.ppt

九年级数学下册 第2章二次函数课件（打包17套） 湘教版

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九年级数学下册 第2章二次函数课件（打包17套） 湘教版,九年级数学下册,第2章二次函数课件（打包17套）,湘教版,九年级,数学,下册,二次,函数,课件,打包,17
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九年级数学下册 第2章二次函数课件（打包17套） 湘教版 九年级 数学 下册 二次 函数 课件 打包 17
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内容简介：
2 2二次函数的图象与性质第4课时 1 经历把函数y ax2的图象沿x轴 y轴平移得到函数y a x h 2 k的图象的探究过程 理解图象变换的实质 2 能通过对函数y ax2的图象进行平移的方法 画出函数y a x h 2或y a x h 2 k的图象 3 经历探索y ax2 bx c的图象特征 会用配方法求其对称轴 顶点坐标公式 观察图象 回答问题 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 4 1 x y 5 y 2 x 1 2 1 y 2 x 1 2 y 2x2 观察这三个图象是如何平移的 二次函数y 0 5x y 0 5 x 1 2和y 0 5 x 1 2 1的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 画出函数y 0 5 x 1 1的图象 指出它的开口方向 对称轴及顶点 抛物线y 0 5x 经过怎样的变换可以得到抛物线y 0 5 x 1 1 思考 在同一平面直角坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2 2 y 3 x 1 2 2 y 3x 和y 3 x 1 2的图象 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2和y 3x y 3 x 1 2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 跟踪训练 规律方法 二次函数y a x h k与y ax 的关系一般地 由y ax2的图象便可得到二次函数y a x h 2 k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax2的图象先沿x轴整体向左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时 向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h 2 k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 抛物线y a x h 2 k有如下特点 1 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向下 2 对称轴是直线x h 3 顶点坐标是 h k 1 指出下列函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 解析 2 开口 向下 对称轴 直线x 1 顶点 1 5 1 开口 向上 对称轴 直线x 3 顶点 3 跟踪训练 2 1 二次函数y 3 x 1 2的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 解析 1 y 3x2的图象向左平移1个单位得y 3 x 1 2的图象 它是轴对称图形 它的对称轴和顶点坐标分别是直线x 1和 1 0 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象由二次函数y 3x2的图象向右平移2个单位再向上平移4个单位而得 对于二次函数y 3 x 1 2 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4的增减性与y 3 x 1 2相同 3 心理学家发现 学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x 单位 min 之间满足函数关系y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 y值越大 表示接受能力越强 1 x在什么范围内 学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内 学生的接受能力逐步降低 2 第10min时 学生的接受能力是多少 3 多长时间时 学生的接受能力最强 是多少 1 当0 x 13时 学生的接受能力逐步增强 当13 x 30时 学生的接受能力逐步降低 2 当x 10时 y 59 3 当x 13时 学生的接受能力最强为59 9 解析 y 0 1 x 13 59 9 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为完全平方式 后两项合并同类项 化简 配方法 再根据顶点式确定开口方向 对称轴 顶点坐标 列表 根据对称性 选取适当值列表计算 a 3 0 开口向上 对称轴 直线x 1 顶点坐标 1 2 1 2 通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小 当x取何值时 y随x的增大而增大吗 当x1时 y随x的增大而增大 在对称轴的左边图象从左到右斜向下 在对称轴的右边图象从左到右斜向上 同学们 你们想到了什么 画出y x2 6x 21的图象 解析 配方得 y x2 6x 21 由此可知 抛物线的顶点是点 6 3 对称轴是直线x 6 y x2 6x 21 跟踪训练 提取二次项系数 配方 加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理 前三项化为完全平方形式 后两项合并同类项 化简 一般地 对于二次函数y ax bx c 我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标 你能把函数y ax bx c通过配方法化成顶点式吗 抛物线的顶点式 因此 二次函数y ax bx c的图象是一条抛物线 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标 跟踪训练 解析 1 直线x 3 顶点 3 5 2 直线x 8 顶点 8 1 3 直线x 1 25 顶点 1 25 1 125 4 直线x 0 75 顶点 0 75 9 375 1 鄂州 中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论 a b异号 当x 1和x 3时 函数值相等 4a b 0 当y 4时 x的取值只能为0 结论正确的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 c 则的值分别为 a 0 5b 0 1c 4 5d 4 1 2 安徽 中考 若二次函数配方后为 答案 d 3 福州 中考 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则下列结论正确的是 a a 0b c 0c b2 4ac 0d a b c 0 答案 d a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 4 莱芜 中考 二次函数 所示 则一次函数 的图象不经过 答案 d 的图象如图 5 株洲 中考 已知二次函数 a为 常数 当a取不同的值时 其图象构成一个 抛物线系 下图分别是当a 1 a 0 a 1 a 2时二次函数的图象 它们的顶点在一条直线上 这条直线的解析式是 答案 规律方法 二次函数y ax2 bx c a 0 与y ax2 a 0 的关系1 相同点 1 形状相同 图象都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 2 不同点 1 位置不同 2 顶点不同 分别是和 0 0 3 对称轴不同 分别是和y轴 4 最值不同 分别是和0 3 联系 y ax2 bx c a 0 的图象可以看成y ax2的图象先沿x轴整体左 右 平移个单位 当 0时向右平移 当 0时向左平移 再沿对称轴整体上 下 平移个单位 当 0时向上平移 当 0时向下平移 得到的 1 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 1 顶点坐标与对称轴 2 位置与开口方向 3 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效 拉封丹 2 2二次函数的图象与性质第4课时 1 会用描点法画出函数y ax2 bx c的图象 重点 2 会将一般形式的二次函数y ax2 bx c通过配方转化为y a x h 2 k的形式 并会确定对称轴及顶点坐标 重点 难点 用配方法把y ax2 bx c a 0 化成y a x h 2 k的形式 y ax2 bx c a c 提取二次项系数 a x2 x 2 2 c 配方 a x 2 a c 化为完全平方式 a x 2 化为y a x h 2 k的形式 总结 1 二次函数y ax2 bx c的对称轴与顶点坐标 二次函数y ax2 bx c的图象是一条 对称轴是直线x 顶点坐标是 抛物线 2 二次函数y ax2 bx c的图象和性质 上 下 减小 增大 增大 减小 小 大 1 抛物线y x2 4x 9的对称轴是直线x 2 2 二次函数y 2x2 x有最大值是0 3 把二次函数y x2 x 3用配方法化成y a x h 2 k的形式是y x 2 2 2 4 抛物线y ax2 bx c a 0 经过原点 则c 0 知识点1y ax2 bx c a 0 的图象及其性质 例1 2012 徐州中考 二次函数y x2 bx c的图象经过点 4 3 3 0 1 求b c的值 2 求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴 3 在所给坐标系中画出二次函数y x2 bx c的图象 思路点拨 把点的坐标代入解析式 列方程组 b c的值 把解析式配方 顶点坐标 对称轴 作图 自主解答 1 由题意得 2 由 1 知函数解析式是y x2 4x 3 可化为y x 2 2 1 其顶点坐标是 2 1 对称轴为直线x 2 3 如图所示 总结提升 画二次函数图象的三步骤1 化 把一般式化成顶点式 2 定 确定抛物线的开口方向 顶点坐标 对称轴 3 画 利用抛物线对称性列表 描点 连线 知识点2y ax2 bx c a 0 的图象与系数的关系 例2 2013 滨州中考 如图 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交于a b两点 与y轴交于c点 且对称轴为x 1 点b坐标为 1 0 则下面的四个结论 2a b 0 4a 2b c0 当y2 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 解题探究 1 由抛物线的对称轴可以确定a与b之间有怎样的关系 提示 抛物线的对称轴为x 1 即 1 b 2a 即2a b 0 2 观察图象知 当x 2时 y 4a 2b c 0 3 抛物线的开口向下 可知a 0 抛物线与y轴的交点c在x轴上方 可知c 0 故ac 0 4 由点b的坐标 1 0 和对称轴为x 1 结合抛物线的对称性知a的坐标为 5 由图象知 当x 时 y 0 以上探究知 正确 故选 3 0 1 3 b 总结提升 在y ax2 bx c a 0 中a b c的作用1 a决定抛物线的开口方向和开口大小 a 0 抛物线开口向上a 0 抛物线开口向下 a 越大 抛物线开口越小 2 b和a一起决定抛物线的对称轴 b 0 抛物线的对称轴为y轴a b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧a b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧3 c决定抛物线与y轴交点 c 0 抛物线与y轴正半轴相交c 0 抛物线与y轴负半轴相交c 0 抛物线过原点 题组一 y ax2 bx c a 0 的图象及其性质1 2013 嘉兴中考 若一次函数y ax b a 0 的图象与x轴的交点坐标为 2 0 则抛物线y ax2 bx的对称轴为 a 直线x 1b 直线x 2c 直线x 1d 直线x 4 解析 选c 把x 2 y 0代入y ax b得 2a b 0 即b 2a 抛物线y ax2 bx的对称轴为直线x 1 即选c 2 二次函数y x2 4x 5的顶点坐标为 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 解析 选b y x2 4x 5 x2 4x 4 1 x 2 2 1 顶点坐标为 2 1 3 2012 镇江中考 关于x的二次函数y x 1 x m 其图象的对称轴在y轴的右侧 则实数m的取值范围是 a m1 解析 选d y x 1 x m x2 1 m x m 对称轴方程为 对称轴在y轴的右侧 1 m1 4 当x 时 二次函数y x2 2x 2有最小值 解析 y x2 2x 2 x2 2x 1 3 x 1 2 3 当x 1时 二次函数y x2 2x 2有最小值 3 答案 1 5 2013 湖州中考 已知抛物线y x2 bx c经过点a 3 0 b 1 0 1 求抛物线的解析式 2 求抛物线的顶点坐标 解析 1 方法一 抛物线y x2 bx c经过点a 3 0 b 1 0 抛物线的解析式为y x2 2x 3 方法二 抛物线的解析式为y x 3 x 1 即y x2 2x 3 2 抛物线的顶点坐标为 1 4 题组二 y ax2 bx c a 0 的图象与系数的关系1 2013 聊城中考 二次函数y ax2 bx的图象如图所示 那么一次函数y ax b的图象大致是 解析 选c 抛物线开口向下 所以二次函数的二次项系数a0 所以b 0 则由a的值可知一次函数y随x的增大而减小 直线从左到右呈下降趋势 直线与y轴的正半轴相交 故选c 2 在同一平面直角坐标系中 函数y mx m和函数y mx2 2x 2 m是常数 且m 0 的图象可能是 解析 选d 当二次函数开口向上时 m 0 m 0 此时二次函数图象的对称轴在y轴左侧 一次函数图象过二 三 四象限 3 2013 岳阳中考 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 对于下列结论 a0 b 2a 0 a b c 0 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 由抛物线开口向下 知a0 即 错误 与y轴的交点在y轴的正半轴上 c 0 即 正确 由图象得出对称轴x 1 这里的b 2a 0 正确 当x 1时 y 0 即a b c 0 错误 4 2013 义乌中考 如图 抛物线y ax2 bx c与x轴交于点a 1 0 顶点坐标为 1 n 与y轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 则下列结论 当x 3时 y0 1 a 3 n 4中 正确的是 a b c d 解析 选d 抛物线的对称轴为x 1 故与x轴的另一个交点为 3 0 当x 3时 y 0 正确 对称轴为x 1 则2a b 0 因为抛物线开口向下 故a 0 所以a 2a b 3a b 0 错误 因为 1 0 在抛物线上 故a b c 0 由x 1 可得b 2a 所以a 又因为抛物线与y轴的交点在 0 2 0 3 之间 包含端点 故2 c 3 所以 即 1 a 故 正确 抛物线的顶点的纵坐标为n 因为2 c 3 所以故 错误 由此可得 正确 想一想错在哪 已知函数y 2x2 mx m的图象如图所示 且oa oc 求m的值 提示 c在y轴的正半轴上 a在x轴的负半轴上 当点c的坐标为 0 m 时 点a的坐标应为 m 0 2 3二次函数的应用2 3 1把握变量之间的依赖关系 1 运用二次函数解决现实生活中的实际问题 重点 2 建立适当的坐标系 待定二次函数解析式 利用二次函数的图象和性质解决问题 重点 难点 1 建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤 1 根据题意建立适当的 2 把已知条件转化为点的 3 合理设出 4 利用待定系数法求出 5 根据求得的解析式进一步分析 判断并进行有关的计算 平面直角坐标系 坐标 函数解析式 函数解析式 2 最值问题的理解 二次函数y ax2 bx c a 0 1 当a0时 抛物线开口向上 其顶点是图象的最 点 即自变量x取顶点的横坐标时 函数y有最 值 3 综上所述 当时 y有最大 小 值 高 大 低 小 1 以抛物线的顶点为原点 对称轴为y轴建立坐标系 抛物线解析式形式为y ax2 a 0 2 在同一问题中 建立不同的坐标系 所得函数解析式不同 但所求问题结果相同 3 二次函数y x2 2x 2的最大值为1 4 周长为12的矩形 其最大面积为9 知识点1建立坐标系解决实际问题 例1 2012 武汉中考 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分acb和矩形的三边ae ed db组成 已知河底ed是水平的 ed 16m ae 8m 抛物线的顶点c到ed的距离是11m 以ed所在的直线为x轴 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的解析式 2 已知从某时刻开始的40h内 水面与河底ed的距离h 单位 m 随时间t 单位 h 的变化满足函数关系h t 19 2 8 0 t 40 且当水面到顶点c的距离不大于5m时 需禁止船只通行 请通过计算说明 在这一时段内 需多长时间禁止船只通行 思路点拨 1 分析题意 结合顶点c 设抛物线解析式 代入点b坐标 求出解析式 2 理解水面到顶点c的距离不大于5m的意义 h的值 代入解析式 t的值 解决问题 自主解答 1 依题意可得 顶点c的坐标为 0 11 设抛物线解析式为y ax2 11 由抛物线的对称性可得 点b 8 8 8 64a 11 解得a 抛物线的解析式为y x2 11 2 当水面到顶点c的距离不大于5m时 h 6 把h 6代入h t 19 2 8 0 t 40 得t1 35 t2 3 禁止船只通行的时间为 t1 t2 32 h 答 禁止船只通行的时间为32h 总结提升 建立坐标系解决实际问题的三个步骤1 根据题意 建立恰当的坐标系 设抛物线解析式 2 准确转化线段的长与点的坐标之间的关系 得到抛物线上点的坐标 代入解析式 求出二次函数解析式 3 应用所求解析式及其性质解决问题 知识点2最值问题 例2 2013 武汉中考 科幻小说 实验室的故事 中 有这样一个情节 科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中 经过一天后 测试出这种植物高度的增长情况 如下表 由这些数据 科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数 且这种函数是反比例函数 一次函数和二次函数中的一种 1 请你选择一种适当的函数 求出它的函数关系式 并简要说明不选择另外两种函数的理由 2 温度为多少时 这种植物每天高度增长量最大 3 如果实验室温度保持不变 在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm 那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择 直接写出结果 解题探究 1 此函数图象过点 0 49 可以排除哪种函数 提示 可以排除反比例函数 当自变量增加相同数值时 函数值的变化量不相等 可以排除哪种函数 提示 可以排除一次函数 点 4 41 和点 2 41 2 49 和 0 49 有什么关系 由此可以确定是哪一种函数 提示 这两组点关于x 1对称 可以确定此函数为二次函数 如何求此函数的解析式 提示 设y ax2 bx c 找三对x y的对应值分别代入 确定a b c 即y 2 将 1 中所得的函数解析式配方得y 当x 时 y最大 其最大值为 即当温度为 时 这种植物每天高度的增长量最大 1 2 49 x2 2x 49 x 1 2 50 1 50 1 3 实验室温度保持不变 则该植物每天高度的增长量 若10天内该植物高度增长量的总和超过250mm 则每天高度增长量超过25mm 当y 25时 解得x1 x2 结合函数性质分析x的范围为 相同 6 4 6 x 4 总结提升 实际问题中利用二次函数求最值的 四 点注意1 要把实际问题正确地转化为二次函数问题 2 列函数关系式时要注意自变量的取值范围 3 若图象不含顶点 应根据函数的增减性来确定最值 4 有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值 实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取 题组一 建立坐标系解决实际问题1 如图 一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称 ab x轴 ab 4cm 最低点c在x轴上 高ch 1cm bd 2cm 则右轮廓线dfe的函数解析式为 a y x 3 2b y x 3 2c y x 3 2d y x 4 2 解析 选c 由题知of 3cm 设抛物线的解析式为y a x 3 2 又 1 1 在图象上 a 1 3 2 1 解得a y x 3 2 2 某中心广场有各种音乐喷泉 其中一个喷水管喷出的水柱的最大高度为3米 此时距喷水管的水平距离为米 在如图所示的坐标系中 这个喷泉水柱轨迹的函数解析式是 a y x 2 3b y 3 x 2 3c y 12 x 2 3d y 12 x 2 3 解析 选c 抛物线的顶点坐标为 3 设抛物线的解析式为y a x 2 3 又 0 0 在抛物线上 0 a 0 2 3 解得a 12 y 12 x 2 3 3 有一座抛物线形拱桥 如图 当水面在l时 拱顶离水面2m 水面宽4m 水面下降2 5m时 水面宽度将增加 m 解析 以拱桥顶为坐标原点 建立平面直角坐标系 设抛物线的解析式为y ax2 抛物线过点 2 2 2 4a a y x2 当y 4 5时 即 x2 4 5 x2 9 x 3 此时水面宽6m 即水面宽度增加2m 答案 2 4 如图为某一幢建筑物 某人从10m高的窗口a用水管向外喷水 喷出的水成抛物线状 抛物线所在平面与地面垂直 如果抛物线的最高点m离墙1m 离地面m 则水流落地点离墙的距离ob是 解析 以o为坐标原点 ob为x轴 oa为y轴 建立平面直角坐标系 设此抛物线的函数关系式为y ax2 bx c 由题意可得 抛物线解析式为当y 0时 与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 即ob 3 答案 3m 5 我国某地的跨江大桥采用了国际上新颖的v型钢构组合拱桥结构 主桥的钢拱在空中划出一道优美的弧线 远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上 大桥的桥拱是抛物线的一部分 位于桥面上方部分的拱高为20米 跨度为120米 如图 1 请你建立适当的直角坐标系 求出可以近似描述主桥上的钢拱形状的函数解析式 2 距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米 解析 1 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线为y ax2 20 代入 60 0 得0 602a 20 解得a 抛物线的解析式为y x2 20 2 设距离桥拱与桥面交点20米处的点的坐标是 40 y 则y 402 20 米 距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为米 题组二 最值问题1 已知二次函数y 3x2 12x 13 则函数y的最小值是 a 3b 2c 1d 1 解析 选c a 3 0 抛物线开口向上 函数有最小值 2 某广场有一喷水池 水从地面喷出 如图 以水平地面为x轴 出水点为原点 建立平面直角坐标系 水在空中划出的曲线是抛物线y x2 4x 单位 m 的一部分 则水喷出的最大高度是 a 4mb 3mc 2md 1m 解析 选a y x2 4x x 2 2 4 所以水喷出的最大高度为4m 3 出售某种手工艺品 若每个获利x元 一天可售出 8 x 个 则当x 元时 一天出售该种手工艺品的总利润y最大 解析 根据题意得 y x 8 x 化简得 y x2 8x 配方得y x 4 2 16 即当x 4时 y有最大值16 答案 4 4 2013 资阳中考 在关于x y的二元一次方程组中 1 若a 3 求方程组的解 2 若s a 3x y 当a为何值时 s有最值 解析 1 当a 3时 方程组为 2得5x 5 x 1 把x 1代入 得y 1 方程组的解为 2 对于方程组 得3x y a 1 s a a 1 a2 a 5 2013 威海中考 如图 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于点a b ab 2 与y轴交于点c 对称轴为直线x 2 1 求抛物线的函数解析式 2 设p为对称轴上一动点 求 apc周长的最小值 3 设d为抛物线上一点 e为对称轴上一点 若以点a b d e为顶点的四边形为菱形 则点d的坐标为 解析 1 ab 2 对称轴为直线x 2 点a的坐标是 1 0 点b的坐标为 3 0 抛物线y x2 bx c与x轴交于点a b 1 3是方程x2 bx c 0的两个根 由根与系数的关系 得1 3 b 1 3 c b 4 c 3 抛物线的函数解析式为y x2 4x 3 2 连结ac bc bc交对称轴于点p 连结pa 由 1 知抛物线的函数解析式为y x2 4x 3 点a b的坐标是 1 0 3 0 点c的坐标为 0 3 点a b关于对称轴x 2对称 所以pa pb pa pc pb pc 当p点在对称轴上运动时 pa pc的最小值等于bc apc的周长的最小值 ac ap pc ac bc 3 当点d为抛物线的顶点时 以点a b d e为顶点的四边形为菱形 把x 2代入y x2 4x 3得y 22 4 2 3 1 点d的坐标为 2 1 答案 2 1 想一想错在哪 m n分别是bc cd上的两个动点 当点m在bc上运动时 保持am和mn垂直 当点m在什么位置时 adn的面积最大或最小 并求出最大或最小面积 提示 在解决实际问题中的最值问题时 要在自变量的取值范围内确定最值 本题不仅有最小值 也有最大值 2 3 2二次函数与一元二次方程的联系 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体会方程与函数之间的联系 2 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 理解何时方程有两个不等的实数根 两个相等的实数根和没有实数根 3 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标 1 一元二次方程ax2 bx c 0的求根公式是什么 当b2 4ac 0时 当b2 4ac 0时 方程无实数根 2 解下列一元二次方程 1 x2 2x 0 2 x2 2x 1 0 3 x2 2x 2 0 我们已经知道 竖直上抛物体的高度h m 与运动时间t s 的关系可以用公式h 5t2 v0t h0表示 其中h0 m 是抛出时的高度 v0 m s 是抛出时的速度 一个小球以40m s的速度竖直向上抛起 小球的高度h m 与运动时间t s 的关系如图所示 那么 1 h与t的关系式是什么 2 小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴交流 二次函数y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2的图象如图所示 1 每个图象与x轴有几个交点 2 一元二次方程x2 2x 0 x2 2x 1 0有几个根 解方程验证一下 一元二次方程x2 2x 2 0有根吗 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 知识归纳 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 1 有两个交点 2 有一个交点 3 没有交点 二次函数与一元二次方程 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 若抛物线y ax2 bx c与x轴有交点 则 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 规律方法 掷铅球时 铅球在空中经过的路线是抛物线 已知某运动员掷铅球时 铅球在空中经过的抛物线的解析式为 其中x是铅球离初始位置的水平距离 y是铅球离地面的高度 如图你能求出铅球被扔出多远吗 想一想 铅球的着地点a的纵坐标y 0 横坐标x就是铅球被扔出去的水平距离 由抛物线的解析式 得 例1 例题 例2 利用二次函数的图象求方程x2 x 3 0的实数根 精确到0 1 x y 用你学过的一元二次方程的解法来解 准确答案是什么 解 1 先作出y x x 3的图象 2 写出交点的坐标 1 3 0 2 3 0 3 得出方程的解 x1 1 3 x2 2 3 c a 跟踪训练 3 若抛物线y ax2 bx c 当a 0 c 0时 图象与x轴交点情况是 a 无交点b 只有一个交点c 有两个交点d 不能确定 x y 0 5 c 4 根据下列表格的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 a 3 x 3 23b 3 23 x 3 24c 3 24 x 3 25d 3 25 x 3 26 c 6 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则一元二次方程ax2 bx c 0的解是 x1 0 x2 5 7 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 8 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 9 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 1 1 16 0 2 0 1 崇左 中考 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 给出下列说法 abc 0 方程ax2 bx c 0的根为x1 1 x2 3 当x 1时 y随x值的增大而减小 当y 0时 1 x 3 其中正确的说法是 a b c d 答案 d a 2 3 b 3 2 c 3 3 d 4 3 2 河北 中考 如图 已知抛物线 的对称轴为点a b均在抛物线上 且ab 与x轴平行 其中点a的坐标为 0 3 则点b的坐标为 答案 d 得到的值是 3 株洲 中考 二次函数 的图象与轴的交点如图所示 根据图中信息可 答案 4 4 汕头 中考 已知二次函数 的图象如图所示 它与x轴的一个交点坐标为 1 0 与y轴的交点坐标为 0 3 1 求出b c的值 并写出此二次函数的解析式 2 根据图象 写出函数值y为正数时 自变量x的取值范围 解析 1 由题意得 解得 故所求解析式为 解得 由图象可知函数值y为正数时 自变量x的取值范围是 1 x 3 2 令 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 2 若该函数图象的对称轴为直线 试求二次函数的最小值 5 咸宁 中考 已知二次函数的图象 与x轴两交点的坐标分别为 m 0 3m 0 1 证明 由 1 得 二次函数的最小值为 4 m 3m是一元二次方程 解析 1 依题意可知 的两根 根据一元二次方程根与系数的 关系 得 2 依题意可得 6 梧州 中考 如图 a 1 0 b 2 3 两点在一次函数y1 x m与二次函数y2 ax2 bx 3图象上 1 求m的值和二次函数的解析式 2 请直接写出使y1 y2时 自变量x的取值范围 y2 ax2 bx 3 y1 x m 解得 解析 1 把a 1 0 代入y1 x m 得 0 1 m m 1 把a 1 0 b 2 3 两点代入y2 ax2 bx 3得 y2 x2 2x 3 2 当y1 y2时 1 x 2 1 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 2 根据一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况是两个不相等的实根 两个相等实根 没有实根 图象上对应的与x轴交点的个数是两个 一个 没有 善性是难能可贵的 也是高尚和值得称赞的 亚里士多德 2 3 2二次函数与一元二次方程的联系 第1课时 1 理解二次函数与一元二次方程的关系 知道二次函数与x轴交点的横坐标就是方程的解 重点 2 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 难点 二次函数 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1的图象如图所示 观察图象填空 1 抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点 它们的横坐标是 当x取公共点的横坐标时 函数的值是 由此得出方程x2 x 2 0的根是x1 x2 2 抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点 这点的横坐标是 当x 时 函数的值是 由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的实数根 3 抛物线y x2 x 1与x轴没有公共点 由此可知 方程x2 x 1 0 2 1 0 2 1 3 3 0 x1 x2 3 没有实数根 总结 一般地 由二次函数y ax2 bx c a 0 的图象可知 1 如果抛物线y ax2 bx c与x轴有公共点 公共点的横坐标是x0 那么当x x0时 函数的值是 因此x 就是方程ax2 bx c 0的一个根 2 抛物线y ax2 bx c a 0 和x轴的位置关系与一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的关系 0 x0 两 一 没有 1 二次函数的图象如果经过原点 则此图象与x轴一定有两个交点 2 如果二次函数y ax2 bx c的图象与x轴相交 那么一元二次方程ax2 bx c 0有实数根 3 二次函数y x2 2x 1函数值大于零时自变量x的取值范围是x 1 4 若方程ax2 bx c 0的两个根为x1 1 x2 5 则抛物线y ax2 bx c与x轴的交点为 1 0 和 5 0 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 例 2013 南京中考 已知二次函数y a x m 2 a x m a m为常数 且a 0 1 求证 不论a与m为何值 该函数的图象与x轴总有两个公共点 2 设该函数的图象的顶点为c 与x轴交于a b两点 与y轴交于点d 当 abc的面积等于1时 求a的值 当 abc的面积与 abd的面积相等时 求m的值 思路点拨 1 证明b2 4ac 0 2 求出点a b的坐标 计算ab的长度 求出点c的坐标 根据s abc 1 求出a 求出点d的坐标 根据s abc s abd 列出方程求m 自主解答 1 y a x m 2 a x m ax2 2am a x am2 am 因为当a 0时 2am a 2 4a am2 am a2 0 所以 方程ax2 2am a x am2 am 0有两个不相等的实数根 所以 不论a与m为何值 该函数的图象与x轴总有两个公共点 2 y a x m 2 a x m a x 2 所以 点c的坐标为当y 0时 a x m 2 a x m 0 解得x1 m x2 m 1 所以ab 1 当 abc的面积等于1时 所以a 8或a 8 当x 0时 y am2 am 所以点d的坐标为 0 am2 am 当 abc的面积与 abd的面积相等时 总结提升 二次函数与一元二次方程关系的两方面1 从 数 的方面看 当二次函数y ax2 bx c的函数值等于0时 相应的自变量的值为一元二次方程ax2 bx c 0的解 2 从 形 的方面看 二次函数y ax2 bx c与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2 bx c 0的解 题组 二次函数与一元二次方程的关系1 关于x的一元二次方程x2 x n 0没有实数根 则抛物线y x2 x n的顶点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选a 抛物线y x2 x n的顶点横坐标为 且该抛物线开口向上 又因为一元二次方程x2 x n 0没有实数根 即抛物线y x2 x n与x轴没有交点 因此 它的顶点只能在第一象限 2 根据下表中的二次函数y ax2 bx c的自变量x与函数y的对应值 可判断该二次函
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本文标题：九年级数学下册 第2章二次函数课件（打包17套） 湘教版
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