决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《反比例函数》（含解析）

反比例函数1如图，反比例函数y1和一次函数y2mx+n相交于点a（1，3），b（3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接oa，试问在x轴上是否存在点p，使得oap为以oa为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点p的坐标；若不存在，说明理由解：（1）点a（1，3）在反比例函数y1的图象上，k133，反比例函数的解析式为y1，点b（3，a）在反比例函数y1的图象上，3a3，a1，b（3，1），点a（1，3），b（3，1）在一次函数y2mx+n的图象上，一次函数的解析式为y2x+2；（2）如图，oap为以oa为腰的等腰三角形，当oaop时，a（1，3），oa，op，点p在x轴上，p（，0）或（，0），当oaap时，则点a是线段op的垂直平分线上，a（1，3），p（2，0），即：在x轴上存在点p，使得oap为以oa为腰的等腰三角形，此时，点p的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）2在平面直角坐标系xoy中，函数y（x0）的图象g经过点a（3，2），直线l：ykx1（k0）与y轴交于点b，与图象g交于点c（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象g在点a，c之间的部分与线段ba，bc围成的区域（不含边界）为w当直线l过点（2，0）时，直接写出区域w内的整点个数；若区域w内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围解：（1）把a（3，2）代入y得m326，（2）当直线l过点（2，0）时，直线解析式为yx1，解方程x1得x11（舍去），x21+，则c（1+，），而b（0，1），如图1所示，区域w内的整点有（3，1）一个；如图2，直线l在ab的下方时，直线l：ykx1过（6，1）时，16k1，解得k，当直线在oa的上方时，直线经过（1，4）时，4k1，解得k5，观察图象可知：当k或k5时，区域w内的整点不少于4个3如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc的顶点坐标分别为o（0，0），a（6，0），b（4，3），c（0，3）动点p从点o出发，以每秒个单位长度的速度沿边oa向终点a运动；动点q从点b同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边bc向终点c运动，设运动的时间为t秒，pq2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当pq时，求t的值；（3）连接ob交pq于点d，若双曲线y经过点d，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由解：（1）过点p作pebc于点e，如图1所示当运动时间为t秒时（0t4）时，点p的坐标为（t，0），点q的坐标为（4t，3），pe3，eq|4tt|4t|，pq2pe2+eq232+|4t|2t220t+25，y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：（2）当时，整理，得5t216t+120，解得：t12，（3）经过点d的双曲线的k值不变连接ob，交pq于点d，过点d作dfoa于点f，如图2所示oc3，bc4，bqop，bdqodp，od3cboa，dofobc在rtobc中，点d的坐标为，经过点d的双曲线的k值为4如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于点a（3，m+8），b（n，6）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求aob的面积；（3）若p（x1，y1），q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1x2时，y1y2，指出点p、q各位于哪个象限？解：（1）将a（3，m+8）代入反比例函数y得3（m+8）m，解得m6，点a的坐标为（3，2），反比例函数解析式为y，将点b（n，6）代入y得6n6，解得n1，点b的坐标为（1，6），将点a（3，2），b（1，6）代入ykx+b得，解得，一次函数解析式为y2x4；（2）设ab与x轴相交于点c，如图，当2x40，解得x2，则点c的坐标为（2，0），saobsaoc+sboc，22+26，2+6，8；（3）当x1x2时，y1y2，点p和点q不在同一象限，p在第二象限，q在第四象限5如图，平面直角坐标系中，一次函数yx1的图象与x轴，y轴分别交于点a，b，与反比例函数y的图象交于点c，d，cex轴于点e，（1）求反比例函数的表达式与点d的坐标；（2）以ce为边作ecmn，点m在一次函数yx1的图象上，设点m的横坐标为a，当边mn与反比例函数y的图象有公共点时，求a的取值范围解：（1）由题意a（1，0），b（0，1），oaob1，oabcae45ae3oa，ae3，ecx轴，aec90，eacace45，ecae3，c（4，3），反比例函数y经过点c（4，3），k12，由，解得或，d（3，4）（2）如图，设m（a，a1）当点n在反比例函数的图象上时，n（a，），四边形ecmn是平行四边形，mnec3，|a1|3，解得a6或2或1（舍弃），m（6，5）或（2，3），观察图象可知：当边mn与反比例函数y的图象有公共点时4a6或3a26如图，一次函数ykx+2的图象与y轴交于点a，正方形abcd的顶点b在x轴上，点d在直线ykx+2上，且aoob，反比例函数y（x0）经过点c（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点p是x轴上一动点，当pcd的周长最小时，求出p点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点c、d、p为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点m的坐标解：（1）设一次函数ykx+2的图象与x轴交于点e，连接bd，如图1所示当x0时，ykx+22，oa2四边形abcd为正方形，oaob，bae90，oaboba45，oaeoea45，oe2，点e的坐标为（2，0）将e（2，0）代入ykx+2，得：2k+20，解得：k1，一次函数的解析式为yx+2obdabd+oba90，bdoaoeob2，bd2oa4，点d的坐标为（2，4）四边形abcd为正方形，点c的坐标为（2+20，0+42），即（4，2）反比例函数y（x0）经过点c，n428，反比例函数解析式为y（2）作点d关于x轴的对称点d，连接cd交x轴于点p，此时pcd的周长取最小值，如图2所示点d的坐标为（2，4），点d的坐标为（2，4）设直线cd的解析式为yax+b（a0），将c（4，2），d（2，4）代入yax+b，得：，解得：，直线cd的解析式为y3x10当y0时，3x100，解得：x，当pcd的周长最小时，p点的坐标为（，0）（3）设点m的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示当dp为对角线时，解得：，点m1的坐标为（，2）；当cd为对角线时，解得：，点m2的坐标为（，6）；当cp为对角线时，解得：，点m3的坐标为（，2）综上所述：以点c、d、p为顶点作平行四边形，第四个顶点m的坐标为（，2），（，6）或（，2）7如图在平面直角坐标系中，一次函数y2x4的图象与反比例函数y的图象交于点a（1，n），b（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点m满足mab的面积为16，求点m的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在2x4的解集解：（1）一次函数y2x4的图象过点a（1，n），b（m，2）n24，22m4n6，m3，a（1，6）把a（1，6）代入y得，k6，反比例函数关系式为y；（2）设直线ab与x轴交于n点，则n（2，0），设m（m，0），m0，smabsbmn+samn，mab的面积为16，|m+2|（2+6）16，解得m2或6（不合题意舍去），m（2，0）；（3）由图象可知：不等式在2x4的解集是x3或0x18如图，在平面直角坐标系中，点a（3，5）与点c关于原点o对称，分别过点a、c作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点b、d，连结ad、bc，ad与x轴交于点e（2，0）（1）求直线ad对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和解：（1）设直线ad对应的函数关系式为yax+b直线ad过点a（3，5），e（2，0）， 解得直线ad的解析式为yx+2 （2）点a（3，5）关于原点o的对称点为点c，点c的坐标为（3，5），cdy轴，设点d的坐标为（3，a），a3+21，点d的坐标为（3，1），反比例函数y的图象经过点d，k3（1）3；（3）如图：点a和点c关于原点对称，阴影部分的面积等于平行四边形cdgf的面积，s阴影43129如图，一次函数ykx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点a（4，3），与y轴的负半轴交于点b，且oaob（1）求函数ykx+b和y的表达式；（2）已知点c（0，8），试在该一次函数图象上确定一点m，使得mbmc，求此时点m的坐标解：（1）把点a（4，3）代入函数得：a3412，y，oa5，oaob，ob5，点b的坐标为（0，5），把b（0，5），a（4，3）代入ykx+b得：y2x5；（2）作mdy轴点m在一次函数y2x5上，设点m的坐标为（x，2x5）mbmc，cdbd，x2+（82x+5）2x2+（52x+5）28（2x5）2x5+5解得：x2x5，点m的坐标为（，）10如图，矩形oabc的顶点a、c分别在x、y轴的正半轴上，点b在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上，oa3，oc5，动点p在x轴的上方，且满足spaos矩形oabc（1）若点p在这个反比例函数的图象上，求点p的坐标；（2）连接po、pa，求po+pa的最小值；（3）若点q是平面内一点，使得以a、b、p、q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点q的坐标解：（1）由题意，可知：点b的坐标为（3，5）点b在反比例函数y（k0）的第一象限内的图象上，k3515，反比例函数的解析式为yspaos矩形oabc，3yp35，yp3当y3时，3，解得：x5，当点p在这个反比例函数的图象上时，点p的坐标为（5，3）（2）由（1）可知：点p在直线y3上，作点o关于直线y3的对称点o，连接ao交直线y3于点p，此时po+pa取得最小值，如图1所示点o的坐标为（0，0），点o的坐标为（0，6）点a的坐标为（3，0），ao3，po+pa的最小值为3（3）aby轴，ab5，点p的纵坐标为3，ab不能为对角线，只能为边设点p的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：当点q在点p的上方时，apab5，即（m3）2+（30）225，解得：m11，m27，点p1的坐标为（1，3），点p2的坐标为（7，3）又pq5，且pqaby轴，点q1的坐标为（1，8），点q2的坐标为（7，8）；当点q在点p的下方时，bpab5，即（m3）2+（35）225，解得：m33，m43+，同理，可得出：点q3的坐标为（3，2），点q4的坐标为（3+，2）综上所述：当以a、b、p、q为顶点的四边形是菱形时，点q的坐标为（1，8），（7，8），（3，2）或（3+，2）11如图，已知c，d是反比例函数y图象在第一象限内的分支上的两点，直线cd分别交x轴、y轴于a，b两点，设c，d的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1x2，连接oc、od（1）若x1+y1x2+y2，求证：ocod；（2）tanboc，oc，求点c的坐标；（3）在（2）的条件下，若bocaod，求直线cd的解析式（1）证明：c，d是反比例函数y图象在第一象限内的分支上的两点，y1，y2x1+y1x2+y2，即x1+x2+，x1x2又x1x2，1，x2y1，x1y2oc，od，ocod（2）解：tanboc，又oc，+10，x11，y13或x11，y13点c在第一象限，点c的坐标为（1，3）（3）解：bocaod，tanaod，点c（1，3）在反比例函数y的图象上，m133，x2y23，x23，y21或x23，y21点d在第一象限，点d的坐标为（3，1）设直线cd的解析式为ykx+b（k0），将c（1，3），d（3，1）代入ykx+b，得：，解得：，直线cd的解析式为yx+412如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的两边分别在x轴、y轴上，d是对角线的交点，若反比例函数y的图象经过点d，且与矩形oabc的两边ab，bc分别交于点e，f（1）若d的坐标为（4，2）则oa的长是8，ab的长是4；请判断ef是否与ac平行，井说明理由；在x轴上是否存在一点p使pd+pe的值最小，若存在，请求出点p的坐标及此时pd+pe的长；若不存在请说明理由（2）若点d的坐标为（m，n），且m0，n0，求的值解：（1）点d的坐标为（4，2），点b的坐标为（8，4），oa8，ab4故答案为：8；4efac，理由如下：反比例函数y的图象经过点d（4，2），k428点b的坐标为（8，4），bcx轴，aby轴，点f的坐标为（2，4），点e的坐标为（8，1），bf6，be3，abcebf，abcebf，bcabfe，efac作点e关于x轴对称的点e，连接de交x轴于点p，此时pd+pe的值最小，如图所示点e的坐标为（8，1），点e的坐标为（8，1），de5设直线de的解析式为yax+b（a0），将d（4，2），e（8，1）代入yax+b，得：，解得：，直线de的解析式为yx+5当y0时，x+50，解得：x，当点p的坐标为（，0）时，pd+pe的值最小，最小值为5（2）点d的坐标为（m，n），点b的坐标为（2m，2n）反比例函数y的图象经过点d（m，n），kmn，点f的坐标为（m，2n），点e的坐标为（2m， n），bfm，ben，又abcebf，abcebf，13如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象交于a（3，1），b（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式kxb0的解解：（1）点a（3，1）在反比例函数y（m0）的图象上，m（3）13，反比例函数的表达式为y，点b（1，n）也在反比例函数y的图象上，n3，即b（1，3），把点a（3，1），点b（1，3）代入一次函数ykx+b中，得，解得，一次函数的表达式为yx2；（2）如图所示，当kx+b时，x的取值范围是3x0或x1，所以不等式kxb0的解是：3x0或x114如图，在平面直角坐标系xoy内，函数y的图象与反比例函数y（k0）图象有公共点a，点a的坐标为（8，a），abx轴，垂足为点b（1）求反比例函数的解析式；（2）点p在线段ob上，若apbp+2，求线段op的长；（3）点d为射线oa上一点，在（2）的条件下，若sodpsabo，求点d的坐标解：（1）函数y的图象过点a（8，a），a84，点a的坐标为（8，4），反比例函数y（