决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《四边形》

四边形1如图，在矩形abcd中，已知bc8cm，点g为bc边上一点，满足bgab6cm，动点e以1cm/s的速度沿线段bg从点b移动到点g，连接ae，作efae，交线段cd于点f设点e移动的时间为t（s），cf的长度为y（cm），y与t的函数关系如图所示（1）图中，cg2cm，图中，m2；（2）点f能否为线段cd的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图中，连接af，ag，设ag与ef交于点h，若ag平分aef的面积，求此时t的值解：（1）bc8cm，bgab6cm，cg2cm，efae，aeb+fec90，且aeb+bae90，baefec，且bc90，abeecf，t6，be6cm，ce2cm，cf2cm，m2，故答案为：2，2；（2）若点f是cd中点，cfdf3cm，abeecf，ec28ec+180647280，点f不可能是cd中点；（3）如图，过点h作hmbc于点m，c90，hmbc，hmcd，ehmefc，ag平分aef的面积，ehfh，emmc，bet，ec8t，emcm4t，mgcmcg2，cfemmc，ehfh，mhcfabbg6，agb45，且hmbc，hgmghm45，hmgm，2，t2或t12，且t6，t22问题提出：（1）如图1，abc的边bc在直线n上，过顶点a作直线mn，在直线m上任取一点d，连接bd、cd，则abc的面积dbc的面积问题探究：（2）如图2，在菱形abcd和菱形bgfe中，bg6，a60，求dge的面积；问题解决：（3）如图3，在矩形abcd中，ab12，bc10，在矩形abcd内（也可以在边上）存在一点p，使得abp的面积等于矩形abcd的面积的，求abp周长的最小值解：问题提出：（1）两条平行线间的距离一定，abc与dbc同底等高，即abc的面积dbc的面积，故答案为：；问题探究：（2）如图2，连接bd，四边形abcd，四边形bgfe是菱形，adbc，bcef，adab，bgbe，acbe60，adb是等边三角形，bge是等边三角形，abdgbe60，bdge，sdgesbgebg29；（3）如图3，过点p作peab，交ad于点e，abp的面积等于矩形abcd的面积的，12ae1210ae8，作点a关于pe的对称点a，连接ab交pe于点p，此时abp周长最小，aeae8，aa16，ab20，abp周长的最小值ap+ab+pbap+pb+ab20+12323（1）方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e、f分别为dc、bc边上的点，且满足eaf45，连接ef将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，易证gafeaf，从而得到结论：de+bfef根据这个结论，若cd6，de2，求ef的长（2）方法迁移：如图，若在四边形abcd中，abad，b+d180，e、f分别是bc、cd上的点，且eafbad，试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形abcd中，abad，b+adc180，e、f分别是边bc、cd延长线上的点，且eafbad，试探究线段ef、be、fd之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）解：（1）方法感悟：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，gbde2，gafeafgfef，cd6，de2ce4，ef2cf2+ce2，ef2（8ef）2+16，ef5；（2）方法迁移：de+bfef，理由如下：如图，将ade绕点a顺时针旋转90得到abh，由旋转可得，ahae，bhde，12，dabh，eafdab，haf1+32+3bad，hafeaf，abh+abfd+abf180，点h、b、f三点共线，在aef和ahf中，aefahf（sas），efhf，hfbh+bf，efde+bf（3）问题拓展：efbffd，理由如下：在bc上截取bhdf，b+adc180，adc+adf180，badf，且abad，bhdf，abhadf（sas）bahdaf，ahad，eafbad，dae+bahbad，haebadeaf，且aeae，ahad，haefae（sas）heef，efhebebhbedf4如图1，在abcd中，ab3cm，bc5cm，acab，acd沿ac的方向匀速平移得到pnm，速度为1cm/s；同时，点q从点c出发，沿cb方向匀速移动，速度为1cm/s，当pnm停止平移时，点q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（04），连结pq，mq，解答下列问题：（1）当t为何值时，pqmn？（2）当t为何值时，cpq45？（3）当t为何值时，pqmq？解：（1）ab3cm，bc5cm，acab，ac4cm，mnab，pqmn，pqab，ts（2）如图2，过点q作qeac，则qeab，ce，qet，cpq45，peqet，t+t+t4，ts（3）如图2，过点p作pfbc于f点，过点m作mhbc，交bc延长线于点h，四边形pmhf是矩形，pmfh5，apfc90，acbpcf，abcfpc，pf，cf，qh5fq5（cfcq），pqmq，pqf+mqh90，且pqf+fpq90，fpqmqh，且pfqh90，pfqqhm，ts5问题背景：如图1，在正方形abcd的内部，作daeabfbcgcdh，根据三角形全等的条件，易得daeabfbcgcdh，从而得四边形efgh是正方形类比探究：如图2，在正abc的内部，作123，ad，be，cf两两相交于d，e，f三点（d，e，f三点不重合）（1）abd，bce，caf是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）def是否为正三角形？请说明理由；（3）如图3，进一步探究发现，abd的三边存在一定的等量关系，设bda，adb，abc，请探索a，b，c满足的等量关系（1）abdbcecaf；理由如下：abc是正三角形，cababcbca60，abbcac，又123，abdbcecaf，在abd、bce和caf中，abdbcecaf（asa）；（2）def是正三角形；理由如下：abdbcecaf，adbbeccfa，fdedefefd，def是正三角形； （3）c2a2+ab+b2作agbd于g，如图所示：def是正三角形，adg60，在rtadg中，dgb，agb，在rtabg中，c2（a+b）2+（b）2，c2a2+ab+b26如图，在四边形abcd中，ac是对角线，abccda90，bccd，延长bc交ad的延长线于点e（1）求证：abad；（2）若aebe+de，求bac的值；（3）过点e作meab，交ac的延长线于点m，过点m作mpdc，交dc的延长线于点p，连接pb设pba，点o是直线ae上的动点，当mo+po的值最小时，点o与点e是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时mo+po的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由（1）证明：abccda90，bccd，acac，rtabcrtadc（hl）abad （2）解：aebe+de， 又aead+de，adbeabad，abbebadbeaabc90，bad45由（1）得abcadc，bacdacbac22.5 （3）解：当mo+po的值最小时，点o与点e可以重合，理由如下：meab，abcmec90，mabemampdc，mpc90mpcadc90pmadeampma 由（1）得，rtabcrtadc，eacmab，emaamp即mc平分pme 又mpcp，mece，pcec 如图，连接pb，连接pe，延长me交pd的延长线于点q 设eam，则map 在rtabe中，bea902 在rtcde中，ecd90bea2pcec，pebepcecdpedbea+peb90meab，qedbad2 当pedqed时，pdeqde，dede，pdeqde（asa）pddq 即点p与点q关于直线ae成轴对称，也即点m、点e、点p关于直线ae的对称点q，这三点共线，也即mo+po的值最小时，点o与点e重合 因为当pedqed时，902，也即30 所以，当abd60时，mo+po取最小值时的点o与点e重合 此时mo+po的最小值即为me+pepcec，pcbecd，cbcd，pcbecd（sas）cbpcde90cbp+abc180a，b，p三点共线 当abd60时，在pea中，paepea60epa60pea为等边三角形ebap，ap2ab2aepae2aemaeam30，emae2amo+po的最小值为4a7已知：如图，在正方形abcd中，点e在ad边上运动，从点a出发向点d运动，到达d点停止运动作射线ce，并将射线ce绕着点c逆时针旋转45，旋转后的射线与ab边交于点f，连接ef（1）依题意补全图形；（2）猜想线段de，ef，bf的数量关系并证明；（3）过点c作cgef，垂足为点g，若正方形abcd的边长是4，请直接写出点g运动的路线长解：（1）补全图形如图1所示：（2）线段de，ef，bf的数量关系为：efde+bf理由如下：延长ad到点h，使dhbf，连接ch，如图2所示：四边形abcd是正方形，bcdadcb90，bcdc，cdh90b，在cdh和cbf中，cdhcbf（sas）chcf，dchbcfecf45，echecd+dchecd+bcf45echecf45在ech和ecf中，echecf（sas）ehefehde+dh，efde+bf；（3）由（2）得：echecf（sas），cehcef，cdad，cgef，cdcg4，点g的运动轨迹是以c为圆心4为半径的弧db，点g运动的路线长28如图，在正方形abcd中，p是边bc上的一动点（不与点b，c重合），点b关于直线ap的对称点为e，连接ae连接de并延长交射线ap于点f，连接bf（1）若bap，直接写出adf的大小（用含的式子表示）；（2）求证：bfdf；（3）连接cf，用等式表示线段af，bf，cf之间的数量关系，并证明（1）解：由轴对称的性质得：eapbap，aeab，四边形abcd是正方形，bad90，abad，dae902，adae，adfaed（180dae）（90+2）45+；（2）证明：四边形abcd是正方形，bad90，abad，点e与点b关于直线ap对称，aefabf，aeabaeadadeaedaed+aef180，在四边形abfd中，ade+abf180，bfd+bad180，bfd90bfdf；（3）解：线段af，bf，cf之间的数量关系为afbf+cf，理由如下：过点b作bmbf交af于点m，如图所示：四边形abcd是正方形，abcb，abc90，abmcbf，点e与点b关于直线ap对称，bfd90，mfbmfe45，bmf是等腰直角三角形，bmbf，fmbf，在amb和cfb中，ambcfb（sas），amcf，affm+am，afbf+cf9如图1，已知等腰rtabc中，e为边ac上一点，过e点作efab于f点，以为边作正方形，且ac3，ef（1）如图1，连接cf，求线段cf的长；（2）将等腰rtabc绕点旋转至如图2的位置，连接be，m点为be的中点，连接mc，mf，求mc与mf关系解：（1）如图1，abc是等腰直角三角形，ac3，ab3，过点c作cmab于m，连接cf，cmamab，四边形agef是正方形，afef，mfamaf，在rtcmf中，cf；（2）cmfm，cmfm，理由：如图2，过点b作bhef交fm的延长线于h，连接cf，ch，bhmefm，四边形agef是正方形，efaf点m是be的中点，bmem，在bmh和emf中，bmhemf（aas），mhmf，bhefaf四边形agef是正方形，fag90，efag，bhef，bhag，bag+abh180，cbh+abc+bac+cag180abc是等腰直角三角形，bcac，abcbac45，cbh+cag90，cag+caf90，cbhcaf，在bch和acf中，bchacf（sas），chcf，bchacf，hcfbch+bcfacf+bcf90，fch是等腰直角三角形，mhmf，cmfm，cmfm；10如图将正方形abcd绕点a顺时针旋转角度（090）得到正方形abcd（1）如图1，bc与ac交于点m，cd与ad所在直线交于点n，若mnbd，求；（2）如图2，cb与cd交于点q，延长cb与bc交于点p，当30时求daq的度数；若ab6，求pq的长度解：（1）如图1中，mnbd，cmncbd45，cnmcdb45，cmncnm，cmcn，cbcd，mbnd，abad，abmadn90，abmadn（sas），bamdan，bad90，man45，bamdan22.5，bac45，bab22.5，22.5（2）如图2中，abqadq90，aqaq，abad，rtaqbrtaqd（hl），qabqad，bab30，bad90，bad30，qadbad30如图2中，连接ap，在ab上取一点e，使得aeep，连接ep设pbaabpabp90，apap，abab，rtapbrtapb（hl），bappab15，eaep，eapepa15，bepeap+epa30，peae2a，bea，ab6，2a+a6，a6（2）pb6（2），pcbcpb66（2）66，cpq+bpb180，bab+bpb180，cpqbab30，pq12411已知，如图1，在边长为2的正方形abcd中，e是边ab的中点，点f在边ad上，过点a作agef，分别交线段cd、ef于点g、h（点g不与线段cd的端点重合）（1）如图2，当g是边cd中点时，求af的长；（2）设afx，四边形fhgd的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结ed，当fed45时，求af的长解：（1）e是ab的中点，ab2，aeab1，同理可得dg1，agef，ahfhaf+afh90，四边形abcd是正方形，adg90dag+agd，afhagd，eafadg90，eafadg，即，af；（2）如图1，由（1）知：eafadg，即，dg2x，hafdag，ahfadg90，ahfadg，ah，fh，ysadgsafh，2x，如图2，当g与c重合时，efag，ahe90，eah45，aeh45，afae1，0x1；y关于x的函数关系式为：y2x（0x1）；（3）如图3，过d作dmag，交bc于m，连接em，延长ea至n，使ancm，连接dn，设cma，则ana，adcd，naddcm90，nadmcd（sas），adncdm，dndm，efag，dmag，efdm，edmfed45，ade+cdmedm45，nda+adendeedm，eded，ndemde（sas），enema+1，bm2a，在rtebm中，由勾股定理得：be2+bm2em2，12+（2a）2（a+1）2，a，aef+eageag+dag，aefdagcdm，tanaeftancdm，af12如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形abcd中，abad，cbcd，问四边形abcd是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形abcd的对角线ac、bd交于点o，acbd试证明：ab2+cd2ad2+bc2；（3）解决问题：如图3，acb中，acb90，acag且acag，abae且aeab，连结ce、bg、ge已知ac4，ab5，求ge的长解：（1）四边形abcd是垂美四边形，理由如下：连接ac，bd，abad，点a在线段bd的垂直平分线上，cbcd，点c在线段bd的垂直平分线上，ac是线段bd的垂直平分线，四边形abcd是垂美四边形；（2）acbd，aodaobboccod90，由勾股定理得，ad2+bc2ao2+do2+bo2+co2，ab2+cd2ao2+bo2+co2+do2，ad2+bc2ab2+cd2；故答案为：ab2+cd2ad2+bc2；（3）cagbae90，cag+bacbae+bac，即gabcae，在gab和cae中，gabcae（sas），abgaec，又aec+ame90，abg+ame90，即cebg，四边形cgeb是垂美四边形，由（2）得，cg2+be2cb2+ge2，ac4，ab5，bc3，cg4，be5，ge2cg2+be2cb273，ge13如图1，四边形aceb，连接bc，acbbec90，d在ab上，连接cd，acdabc，becd（1）求证：四边形cdbe为矩形；（2）如图2，连接de，de交bc于点o，若tana2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与ad的长度相等的线段（1）证明：acb90，a+abc90，acdabc，a+acd90，adc90，bdc1809090bec，在rtbcd和rtcbe中，rtbcdrtcbe（hl），bdce，cdbe，四边形cdbe是平行四边形，又bec90，四边形cdbe为矩形；（2）解：图中所有长度与ad的长度相等的线段为acocobodoead理由如下：由（1）得：四边形cdbe为矩形，adc90，bcde，odoe，oboc，ocobodoebc，adcacb90，tana2，cd2ad，bc2ac，acad，debc2ac，ocobodoebcacad，acocobodoead14如图在直角坐标系中，四边形abco为正方形，a点的坐标为（a，0），d点的坐标为（0，b），且a，b满足（a3）2+|b|0（1）求a点和d点的坐标；（2）若daeoab，请猜想de，od和eb的数量关系，说明理由（3）若oad30，以ad为三角形的一边，坐标轴上是否存在点p，使得pad为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点p，并写出p点的坐标，选择一种情况证明解：（1）（a3）2+|b|0，a3，