北京市2020年中考数学真题模拟题汇编 专题9 函数之解答题（含解析）

专题09 函数之解答题一解答题（共73小题）1（2019北京）如图，p是ab与弦ab所围成的图形的外部的一定点，c是ab上一动点，连接pc交弦ab于点d小腾根据学习函数的经验，对线段pc，pd，ad的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点c在ab上的不同位置，画图、测量，得到了线段pc，pd，ad的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8pc/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83pd/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83ad/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在pc，pd，ad的长度这三个量中，确定ad的长度是自变量，pd的长度和pc的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xoy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当pc2pd时，ad的长度约为2.3和4cm【答案】解：（1）根据函数的定义，pc、pd不可能为自变量，只能是ad为自变量故答案为：ad、pc、pd；（2）描点画出如图图象；（3）pc2pd，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即ad的长度为2.3和4.0【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值2（2019北京）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax2+bx-1a与y轴交于点a，将点a向右平移2个单位长度，得到点b，点b在抛物线上（1）求点b的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点p（12，-1a），q（2，2）若抛物线与线段pq恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】解：（1）a（0，-1a）点a向右平移2个单位长度，得到点b（2，-1a）；（2）a与b关于对称轴x1对称，抛物线对称轴x1；（3）对称轴x1，b2a，yax22ax-1a，a0时，当x2时，y=-1a2，当y=-1a时，x0或x2，函数与ab无交点；a0时，当y2时，ax22ax-1a=2，x=a+|a+1|a或x=a-|a+1|a当a+|a+1|a2时，a-12；当a-12时，抛物线与线段pq恰有一个公共点；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键3（2019北京）在平面直角坐标系xoy中，直线l：ykx+1（k0）与直线xk，直线yk分别交于点a，b，直线xk与直线yk交于点c（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段ab，bc，ca围成的区域（不含边界）为w当k2时，结合函数图象，求区域w内的整点个数；若区域w内没有整点，直接写出k的取值范围【答案】解：（1）令x0，y1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，a（k，k2+1），b（-k-1k，k），c（k，k），当k2时，a（2，5），b（-32，2），c（2，2），在w区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，1），（1，2）；直线ab的解析式为ykx+1，当xk+1时，yk+1，则有k2+2k0，k2，当0k1时，w内没有整数点，当0k1或k2时w内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析w区域内整数点的情况是解题的关键4（2019朝阳区校级一模）如图，半圆o的直径ab5cm，点m在ab上且am1cm，点p是半圆o上的动点，过点b作bqpm交pm（或pm的延长线）于点q设pmxcm，bqycm（当点p与点a或点b重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm11.522.533.54y/cm03.743.83.32.50（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当pbm的面积为1时，pm的长度约为1.1或3.7cm【答案】解：（1）当x2时，pmab，此时q与m重合，bqbm4，当x4时，点p与b重合，此时bq0故答案为4；0（2）函数图象如图所示：（3）如图，在rtbqm中，q90，mbq60，bmq30，bq=12bm2，观察图象可知y2时，对应的x的值为1.1或3.7故答案为1.1或3.7【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题5（2019怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）当0x10时，图象是抛物线的一部分；当10x20和20x45时，图象是线段根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是10到20分钟（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时，故答案为：10到20分钟（2）当0x10时，设抛物线的函数关系式为yax2+bx+c，图象过点（0，20），（5，39），（10，48）c=2025a+5b+c=39100a+10b+c=48解得a=-15，b=245，c20y=-15x2+245x+20，（0x10）当20x45，设其函数解析式为ykx+b将（20，48），（45，20）代入得48=20k+b20=45k+b 解得k=-1.12b=70.4y1.12x+70.4令y39得x=2812828128-5=23128 老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态故答案为4，29【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键6（2019朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，过点a（2，0）的直线l：ymx3与y轴交于点b（1）求直线l的表达式；（2）若点c是直线l与双曲线y=nx的一个公共点，ab3ac，求n的值【答案】解：（1）直线l：ymx3过点a（2，0），02m3m=32直线l的表达式为y=32x3；（2）当x0时，y3，点b（0，3），如图1，当点c在ba延长线上时，作cdy轴于点d，则baobcd，babc=oacd=bobd，即34=2cd=33+od，解得：cd=83，od1，点c（83，1），则n=831=83；如图2，当点c在线段ab上时，作cey轴于点e，则baobce，bcba=ceao=bebo，即23=ce2=be3，解得：ce=43，be2，oebobe1，点c的坐标为（43，1），则n=43（1）=-43，综上，n=83或-43【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键7（2019西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示t012346810y0242.83210.50.25（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为4.25微克【答案】解：（1）如图所示：（2）由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y0.5时，t=14或8，8-14=7.75，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.254.25微克；故答案为：4.25【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息8（2019海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2-1x的图象与性质小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2-1x的图象与性质进行了探究下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y=18x2-1x的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，完成以下作图步骤：画出函数y=14x2和y=-2x的图象；在x轴上取一点p，过点p作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=-2x的图象于点m，n，记线段mn的中点为g；在x轴正半轴上多次改变点p的位置，用的方法得到相应的点g，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2-1x在y轴右侧的图象继续在x轴负半轴上多次改变点p的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象（3）结合函数y=18x2-1x的图象，发现：该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；该函数还具有的性质为：当x0时，y随x的增大而增大（一条即可）【答案】解：（1）x在分母上，x0故函数y=18x2-1x的自变量x的取值范围是x0；（2）画出该函数在y轴左侧的图象如图：（3）点的横坐标约为1.6；（在1.9至1.3之间即可）该函数的其它性质：当x0时，y随x的增大而增大故答案为：当x0时，y随x的增大而增大【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的图象、二次函数的图象以及函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）连点，画出函数图象；（3）根据函数图象，寻找函数的性质9（2019丰台区二模）对于平面直角坐标系xoy中的点p和c，给出如下定义：若c上存在两个点a、b，使得点p在射线bc上，且apb=14acb（0acb180），则称p为c的依附点（1）当o的半径为1时，已知点d（1，0），e（0，2），f（2.5，0），在点d、e、f中，o的依附点是e，f；点t在直线yx上，若t为o的依附点，求点t的横坐标t的取值范围；（2）c的圆心在x轴上，半径为2，直线yx+2与x轴、y轴分别交于点m、n，若线段mn上的所有点都是c的依附点，直接写出圆心c的横坐标m的取值范围【答案】解：（1）如图1中，根据p为c的依附点，可知：当rop3r（r为c的半径）时，点p为c的依附点d（1，0），e（0，2），f（2.5，0），od1，oe2，of2.5，1oe3，1of3，点e，f是c的依附点，故答案为：e、f；如图2中，当点t在第四象限，ot1时，作tnx轴于n，易知n（22，0），ot3时，作tmx轴于m，易知m（322，0），满足条件的点t的横坐标t的取值范围：22t322当点t在第二象限时，同法可得满足条件的t的取值范围为-322t-22，综上所述，满足条件的t的值的范围为：22t322或-322t-22（2）如图31中，当点c在点m的右侧时，由题意m（2，0），n（0，2）当cn6时，oc=cn2-on2=42，此时c（42，0），当cm2时，此时c（4，0），满足条件的m的值的范围为4m42如图32中，当点c在点m的右侧时，当c与直线mn相切时，易知c（222，0），当cm6时，c（4，0），满足条件的m的值的范围为4m222，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4m42或4m222【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，p为c的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题10（2019昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=kx（x0）的图象与直线y2x2交于点为a（2，m）（1）求k，m的值；（2）点b为函数y=kx（x0）的图象上的一点，直线ab与y轴交于点c，当ac2ab时，求点c的坐标【答案】解：（1）直线y2x2过点a（2，m），m2222a（2，2），y=kx（x0）过点a（2，2），k224；（2）ac2ab，b点的横坐标为1或3，把x1或3代入y=4x得，y4或43，b（1，4），或（3，43），设直线ab为yax+b，把a、b的坐标代入求得解析式为y2x+6或y=-23x+103，令x0，则c（0，6）或c（0，103）【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出b点的坐标11（2019通州区三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，b（3，3），c（5，0），以oc，cb为边作平行四边形oabc，函数y=kx（x0）的图象经过点a（1）求k的值；（2）若过点a的直线l平行于直线ob，且交函数y=kx（x0）的图象于点d求直线l的表达式；定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点记函数y=kx（x0）的图象在点a，d之间的部分与线段ad围成的区域（含边界）为w结合函数图象，直接写出区域w内（含边界）的整点个数【答案】解：（1）b（3，3），c（5，0），四边形oabc是平行四边形，aboc5，点a的坐标为（2，3），k6；（2）设直线ob的表达式为ymx，由b点坐标（3，3），可求m1，过点a的直线l平行于直线ob，设直线l的表达式为yx+b，把点a的坐标（2，3）代入上式并解得：b5，故：直线l的表达式为yx5；将函数表达式：y=6x与直线表达式：yx5联立并整理得：x2+5x+60，解得：x2或3，故点d的坐标为（3，2），而点a（2，3），由图象分析可见：在点a，d之间的部分与线段ad围成的区域（含边界）为w内，只有d、a两个整点【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、平行四边形的知识，综合性强、难度适中12（2019房山区二模）在平面直角坐标系xoy中，已知点a（0，2），b（2，2），抛物线f：yx22mx+m22（1）求抛物线f的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线f与线段ab有公共点时，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）由函数解析式yx22mx+m22，可求顶点坐标为（m，2）；（2）当m0时，抛物线f与线段ab有公共点时，令x0，则m222，2m2，2m0；当0m2时，抛物线f与线段ab有公共点时，m222或m24m+22，m2或m2或m4或m0，m不存在；当m2时，抛物线f与线段ab有公共点时，令x2，则m24m+22，0m4，2m4；综上所述：2m0，2m4；【点睛】本题考查二次函数图象及性质；分情况讨论函数图象与线段的交点的存在，并将问题转化为不等式求解是关键13（2019通州区三模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax24ax+4（a0）与y轴交于点a（1）求点a的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点b（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线yax24ax+4（a0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|1，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】解：（1）yax24ax+4a（x2）2+44a点a的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x2（2）当a0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3a4a+4a=13当a0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3a+4a+4a=-15a的取值范围为a-15或a13【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y轴的交点14（2019房山区二模）对于平面直角坐标系xoy中的点p和c，给出如下定义：若c上存在点a，使得apc30，则称p为c的半角关联点当o的半径为1时，（1）在点d（12，-12），e（2，0），f（0，23）中，o的半角关联点是d，e；（2）直线l：y=-33x-2交x轴于点m，交y轴于点n，若直线l上的点p（m，n）是o的半角关联点，求m的取值范围【答案】解：（1）由题意可知在圆上存在点a使ado30和aeo30，d，e是，o的半角关联点，故答案为d，e；（2）由直线解析式可直接求得m(-23，0)，n(0，2)，以o为圆心，on长为半径画圆，交直线mn 于点g，可得m0，设小圆o与y轴负半轴的交点为h，连接og，hgm（-23，0），n（0，2）om=23，on2，tanomn=33omn30，onm60ogn是等边三角形ghy轴，点g的纵坐标为1，代入y=-33x-2，可得，横坐标为-3，m-3，-3m0；【点睛】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；15（2019昌平区二模）在平面直角坐标系xoy中，直线yx+1与抛物线yax2+bx+3a交于点a和点b，点a在x轴上（1）点a的坐标为（1，0）（2）用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；当32ab52时，结合函数图象，求a的取值范围【答案】解：（1）令y0，x+10，则a点坐标为（1，0）；故答案为（1，0）；（2）将（1，0）代入yax2+bx+3a，ab+3a4ab0，b4a，x=-b2a=-2；设b（m，m+1），ab=2(m+1)2=2|m+1|，m+1am2+4am+3a，m+1a（m+1）（m+3），m1，m=1a-3，ab=2|1a-2|，32ab52，322|1a-2|52，-1a-13或17a15；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键16（2019房山区二模）在平面直角坐标系xoy中，函数y=kx(x0)的图象g与直线l：yx+7交于a（1，a），b两点（1）求k的值；（2）记图象g在点a，b之间的部分与线段ab围成的区域（不含边界）为w点p在区域w内，若点p的横纵坐标都为整数，直接写出点p的坐标【答案】解：（1）把a（1，a）代入yx+7得，a1+76，a（1，6），把（1，6）代入y=kx中可得k6；（2）画出直线yx+7和函数y=6x（x0）的图象如图：由图象可知：点p的坐标（2，4），（3，3），（4，2）【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合的思想17（2019西城区二模）在平面直角坐标系xoy中已知抛物线yax2+bx+a2的对称轴是直线x1（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点a（0，4），b（2，3），若抛物线与线段ab没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为c（3，0），且当mxn时，y的取值范围是my6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值【答案】解：（1）-b2a=1，b2a抛物线为yax22ax+a2，当x1时，ya2a+a22，抛物线的顶点坐标为：（1，2）答：b2a；抛物线的顶点坐标为：（1，2）（2）若a0，抛物线与线段ab没有公共点；若a0，当抛物线经过点b（2，3）时，它与线段ab恰有一个公共点，此时34a4a+a2，解得a1抛物线与线段ab没有公共点，结合函数图象可知，1a0或a0（3）抛物线与x轴的一个交点为c（3，0），代入yax22ax+a2得09a6a+a2，a=12，抛物线为y=12x2x-32，当mxn时，y的取值范围是my6，令y6得：612x2x-32，解得x3（舍）或x5由自变量的最小值为m与函数值的最小值也为m，由y=12x2-x-32y=x得x24x30，x2+7或x2-7-2，此时顶点（1，2）包含在范围内，不符合要求，故舍去；故满足条件的m，n的值为：m2+7，n5；或m2，n5【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题18（2019朝阳区二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax22a2x（a0）的对称轴与x轴交于点p（1）求点p的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y=-34x+94（1x3）的图象为图形m，若抛物线与图形m恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】解：（1）抛物线yax22a2x的对称轴是直线x=-2a22a=a，点p的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形m为线段ab，a（1，3），b（3，0）当抛物线经过点a时，解得a=-32或a1；当抛物线经过点b时，解得a=32（3分）如图1，当a=-32时，抛物线与图形m恰有一个公共点如图2，当a1时，抛物线与图形m恰有两个公共点如图3，当a=32时，抛物线与图形m恰有两个公共点结合函数的图象可知，当a-32或0a1或a32时，抛物线与图形m恰有一个公共点【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键19（2019怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系镭的质量由m0缩减到12m0需1620年，由12m0缩减到14m0需1620年，由14m0缩减到18m0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量1620年，一般把1620年称为镭的半衰期实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期铀的半衰期为4.5109年，蜕变后的铀最后成为铅科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m0千克，经过n个半衰期后，剩余的铀的质量为m1千克，下表是m1随n的变化情况，请补充完整：半衰期n012345岩石中剩余铀的质量m1m012m014m018m0116m0132m0（2）写出矿石中剩余的铀的质量m1与半衰期n之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m2与半衰期n的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m1与半衰期n的函数关系图象：（4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等【答案】解：（1）剩余的铀的质量为：(12)4m0=116m0故答案为：116m0；（2）根据题意可知：m1=m0(12)n；（3）如图所示：；（4）大约经过个1.1半衰期，岩石中铀铅质量相等【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决20（2019顺义区二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线ymx2+2mx3（m0）与x轴交于a、b两点（点a在点b左侧），与y轴交于点c，该抛物线的顶点d的纵坐标是4（1）求点a、b的坐标；（2）设直线与直线ac关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x轴的直线b与抛物线交于点m（x1，y1）、n（x2，y2），与直线交于点p（x3，y3）若x1x3x2，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围【答案】解：（1）抛物线 ymx2+2mx3（m0）的顶点d的纵坐标是4，-12m-4m24m=-4，解得m1，yx2+2x3，令y0，则 x3或1，a（3，0）b（1，0）；（2）yx2+2x3（x+1）24，抛物线的对称轴为x1，点c（0，3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是e（2，3），点a（3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是b（1，0），设直线的表达式为ykx+b，点e（2，3）和点b（1，0）在直线上-2k+b=-3k+b=0，解得k=1b=-1，直线的表达式为yx1；（3）由对称性可知 x1+x22=-1，x1+x22，x1x3x2，2x31，4x1+x2+x31【点睛】本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键21（2019朝阳区二模）m（1，-12），n（1，-12）是平面直角坐标系xoy中的两点，若平面内直线mn上方的点p满足：45mpn90，则称点p为线段mn的可视点（1）在点a1(0，12)，a2(12，0)，a3(0，2)，a4（2，2）中，线段mn的可视点为a1，a3；（2）若点b是直线yx+12上线段mn的可视点，求点b的横坐标t的取值范围；（3）直线yx+b（b0）与x轴交于点c，与y轴交于点d，若线段cd上存在线段mn的可视点，直接写出b的取值范围【答案】解：（1）如图1，以mn为直径的半圆交y轴于点e，以e为圆心，em长为半径的e交y轴于点f，mn是g的直径，ma1n90，m（1，-12），n（1，-12）mneg，eg1，mn2emef=2，mfn=12men45，45mpn90，点p应落在e内部，且落在g外部线段mn的可视点为a1，a3；故答案为a1，a3；（2）如图，以（0，-12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，2为半径作圆，两圆在直线mn上方的部分与直线y=x+12分别交于点e，f过点f作fhx轴，过点e作ehfh于点h，fhx轴，fhy轴，efhmeg45，ehf90，ef=2，ehfh1，e（0，12），f（1，32）只有当点b在线段ef上时，满足45mbn90，点b是线段mn的可视点点b的横坐标t的取值范围是0t1（3）如图，g与x轴交于h，与y轴交于e，连接gh，og=12，gh1，oh=gh2-og2=12-(12)2=32，h（32，0）e（0，12）当直线yx+b（b0）与x轴交于点c，与y轴交于点d，若线段cd上存在线段mn的可视点，直线yx+b与y轴交点在y负半轴上将h（32，0）代入yx+b得32+b0，解得b1=-32，将n（1，-12）代入yx+b得1+b=-12，解得b2=-32-32b-32直线yx+b与y轴交点在y正半轴上将 e（0，12）代入得b=12，当直线yx+b与e相切于t时交y轴于q，连接et，则ettq，eqt45，tqetem=2，eq=et2+tq2=(2)2+(2)2=2oqoe+eq=12+2=5212b52综上所述：12b52或-32b-32【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题22（2019丰台区二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线c1：yax22ax3a（a0）和点a（0，3），将点a向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点b（1）求点b的坐标；（2）求抛物线c1的对称轴；（3）把抛物线c1沿x轴翻折，得到一条新抛物线c2，抛物线c2与抛物线c1组成的图象记为g，若图象g与线段ab恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围【答案】解：（1）点a（0，3），将点a向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点b，点b的坐标为（2，2）；（2）抛物线c1：yax22ax3a，对称轴是直线x=-2a2a=1；（3）当抛物线c1：yax22ax3a过点a（0，3）时，此时3a3，得a1，对称轴是直线x1，当x2时，y3，点b在抛物线c2下方，此时抛物线c1与线段ab一个交点，抛物线c2与线段ab没有交点，当抛物线c1：yax22ax3a过点（0，2）时，3a2，得a=23，对称轴是直线x1，当x2时，y2，点b在抛物线c2上，此时抛物线c1与线段ab一个交点，抛物线c2与线段ab有一个交点，a的取值范围是23x1；同理可得，当抛物线c2：yax2+2ax+3a过点a（0，3）或（0，2）时，可以求得a1或a=-23，a的取值范围是1a-23，由上可得，a的取值范围是1a-23或23x1【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答23（2019东城区二模）在平面直角坐标系xoy中，直线ykx+2与双曲线y=6x的一个交点是a（m，3）（1）求m和k的值；（2）设点p是双曲线y=6x上一点，直线ap与x轴交于点b若ab3pb，结合图象，直接写出点p的坐标【答案】解：（1）把点a（m，3）的再把代入y=6x得到m2，再把a（2，3）的再把代入ykx+2，32k+2，解得k=12，所以m2，k=12（2）当点p在第三象限时，如图1，作aex轴于e，pfx轴于f，aepf，aepf=abpb=3，3pf=3，pf1，p（6，1）当点p在第一象限时，如图2，作aex轴于e，pfx轴于f，aepf，aepf=abpb=3，3pf=3，pf1，p（6，1），综上所述，满足条件的点p坐标为（6，1）或（6，1）【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型24（2019朝阳区二模）在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y=kx的图象经过点p（3，4）（1）求k的值；（2）求op的长；（3）直线ymx（m0）与反比例函数的图象有两个交点a，b，若ab10，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）反比例函数y=kx的图象经过点p（3，4），k12，（2）过点p作pex轴于点e点p（3，4），oe3，pe4在rteop中，由勾股定理可求op5；（3）由（2）可知，当a（3，4），b（3，4）或a（4，3），b（4，3）时，ab10，m=43或m=34若ab10，则m43或0m34【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用25（2019东城区二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx22mx+m21与y轴交于点c（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线yx22mx+m21沿直线y1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点d若m0，cd8，求m的值；（3）已知a（2k，0），b（0，k），在（2）的条件下，当线段ab与抛物线yx22mx+m21只有一个公共点时，直接写出k的取值范围【答案】解：（1）yx22mx+m21（xm）21，抛物线的顶点坐标为（m，1）；（2）由对称性可知，点c到直线y1的距离为4，oc3，m213，m0，m2；（3）m2，抛物线为yx24x+3，当抛物线经过点a（2k，0）时，k=12或k=32；当抛物线经过点b（0，k）时，k3；线段ab与抛物线yx22mx+m21只有一个公共点，12k32或k3【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键26（2019西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2（k+5）x+3k+60（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于2且小于0，k为整数，求k的值【答案】（1）证明：（k5）24（3k+6）k22k+1（k1）20，无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=(k+5)(k-1)22，x1k+2，x23由题意可知2k+20，即4k2k为整数k3【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中27（2019顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ykx+k与双曲线y=4x（x0）交于点a（1，a）（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点d（2，0）且平行于直线ykx+k，点p（m，n）（m3）是直线l上一动点，过点p分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=4x（x0）于点m、n，双曲线在点m、n之间的部分与线段pm、pn所围成的区域（不含边界）记为w横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m4时，直接写出区域w内的整点个数；若区域w内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围【答案】解：（1）点a（1，a）在双曲线y=4x上，a=41=4，点a的坐标为（1，4），将a（1，4）代入ykx+k，得：k+k4，k2（2）直线l过点d（2，0）且平行于直线y2x+2，直线l的解析式为y2x4当m4时，n2m44，点p的坐标为（4，4）依照题意画出图象，如图1所示观察图形，可知：区域w内的整点个数是3如图2所示：当2x24时，即x4，此时线段pm和pn上有5个整点；当2x25时，即x4.5，此时线段pm上有整点观察图形，可知：若区域w内的整点个数不超过8个，m的取值范围为4m4.5【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行的性质以及数形结合，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）依照题意画出图形，利用数形结合找出结论28（2019门头沟区二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax22ax3a（a0）顶点为p，且该抛物线与x轴交于a，b两点（点a在点b的左侧）我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“g区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点（1）求抛物线yax22ax3a顶点p的坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果抛物线yax22ax3a经过（1，3）求a的值；在的条件下，直接写出“g区域”内整点的个数（3）如果抛物线yax22ax3a在“g区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围【答案】解：（1）yax22ax3aa（x+1）（x3）a（x1）24a，顶点p的坐标为（1，4a）（2）抛物线ya（x+1）（x3）经过（1，3），3a（1+1）（13），解得：a=-34当y=-34（x+1）（x3）0时，x11，x23，点a（1，0），点b（3，0）当x0时，y=-34（x+1）（x3）=94，（0，1）、（0，2）两个整数点在“g区域”；当x1时，y=-34（x+1）（x3）3，（1，1）、（1，2）两个整数点在“g区域”；当x2时，y=-34（x+1）（x3）=94，（2，1）、（2，2）两个整数点在“g区域”综上所述：此时“g区域”有6个整数点（3）当x0时，ya（x+1）（x3）3a，抛物线与y轴的交点坐标为（0，3a）当a0时，如图1所示，此时有2-4a3-3a2，解得：-23a-12；当a0时，如图2所示，此时有-3-4a-2-3a-2，解得：12a23综上所述，如果g区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为-23a-12或12a23【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“g区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组29（2019丰台区二模）在平面直角坐标系xoy中，直线l：ykx+b（k0）与反比例函数y=4x的图象的一个交点为m（1，m）（1）求m的值；（2）直线l与x轴交于点a，与y轴交于点b，连接om，设aob的面积为s1，mob的面积为s2，若s13s2，求k的取值范围【答案】解：（1）m（1，m）在反比例函数y=4x的图象上，m=41=4；（2）由题意得oa3，当直线ykx+b经过（3，0），（1，4）时，3k+b=0k+b=4，解得k2，当直线ykx+b经过（3，0），（1，4）时，-3k+b=0k+b=4，解得k1，若s13s2，求k的取值范围是2k0或0k1【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点熟练掌握待定系数法是解题的关键30（2019海淀