（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评三十九 平面的基本性质及两直线位置关系 新人教B版

核心素养测评三十九 平面的基本性质及两直线位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在下列命题中,不是公理的是()a.平行于同一个平面的两个平面相互平行b.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面c.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内d.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选a.选项a是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.若直线a,b,c满足ab,a,c异面,则b与c()a.一定是异面直线b.一定是相交直线c.不可能是平行直线d.不可能是相交直线【解析】选c.若ab,a,c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知ac.3.空间四边形abcd中,e,f分别为ac,bd的中点,若cd=2ab,efab,则ef与cd所成的角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选a.取ad的中点h,连接fh,eh,在efh中,efh=90,he=2hf,从而feh=30,即ef与cd所成角为30.4.空间四点a,b,c,d共面而不共线,那么这四点中()a.必有三点共线b.必有三点不共线c.至少有三点共线d.不可能有三点共线【解析】选b.如图所示,a,c,d均不正确,只有b正确.5.已知正四面体abcd中,e是ab的中点,则异面直线ce与bd所成角的余弦值为()a.16b.36c.13d.33【解析】选b.画出正四面体abcd的直观图,如图所示.设其棱长为2,取ad的中点f,连接ef,设ef的中点为o,连接co,则efbd,则fec就是异面直线ce与bd所成的角.abc为等边三角形,则ceab,易得ce=3,同理可得cf=3,故ce=cf.因为oe=of,所以coef.又eo=12ef=14bd=12,所以cosfec=eoce=123=36.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是棱cd,cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_.【解析】如图,取cn的中点k,连接mk,则mk为cdn的中位线,所以mkdn.所以a1mk为异面直线a1m与dn所成的角.连接a1c1,am.设正方体的棱长为4,则a1k=(42)2+32=41,mk=12dn=1242+22=5,a1m=42+42+22=6,所以a1m2+mk2=a1k2,所以a1mk=90.答案:907.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且abcd,则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.【解析】ef与正方体左、右两侧面均平行.所以与ef相交的侧面有4个.答案:48.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;若a,b与c成等角,则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号).【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故不正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,a是bcd所在平面外的一点,e,f分别是bc,ad的中点.(1)求证:直线ef与bd是异面直线;(2)若acbd,ac=bd,求ef与bd所成的角.【解析】(1)假设ef与bd不是异面直线,则ef与bd共面,从而df与be共面,即ad与bc共面,所以a,b,c,d在同一平面内,这与a是bcd所在平面外的一点相矛盾.故直线ef与bd是异面直线.(2)取cd的中点g,连接eg,fg,则acfg,egbd,所以相交直线ef与eg所成的角,即为异面直线ef与bd所成的角.又因为acbd,则fgeg.在rtegf中,由eg=fg=12ac,求得feg=45,即异面直线ef与bd所成的角为45.10.已知空间四边形abcd的对角线ac=20,bd=19,异面直线ac与bd所成的角的余弦值为1819,点p,q,m,n分别是ab,bc,cd,da的中点,(1)求证:四边形pqmn是平行四边形.(2)求四边形pqmn的面积.【解析】(1)因为p,q是ab,bc的中点,所以pqac,pq=12ac,同理mnac,mn=12ac,所以pqmn,pq=mn,所以pqmn是平行四边形.(2)因为p,n是ab,ad的中点,所以pnbd,pn=12bd=192,又因为pqac,所以pq与pn所成的角就是异面直线ac,bd成的角,所以sinqpn=1-cos2qpn=1-18192=3719,所以四边形pqmn的面积为s=pqpnsinqpn=101923719=537.(15分钟35分)1.(5分)设a,b,c,d是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是()a.若ac与bd共面,则ad与bc共面b.若ac与bd是异面直线,则ad与bc是异面直线c.若ab=ac,db=dc,则ad=bcd.若ab=ac,db=dc,则adbc【解析】选c.由公理1知,命题a正确.对于b,假设ad与bc共面,由a正确得ac与bd共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于c,如图,当ab=ac,db=dc,使二面角a-bc-d的大小变化时,ad与bc不一定相等,故不正确.对于d,如图,取bc的中点e,连接ae,de,则由题设得bcae,bcde.根据线面垂直的判定定理得bc平面ade,从而adbc.2.(5分)(多选)在空间中,有如下四个命题,其中正确的命题是()a.平行于同一个平面的两条直线是平行直线b.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面c.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则d.过平面的一条斜线,有且只有一个平面与平面垂直【解析】选bd.a平行于同一个平面的两条直线,可能平行、相交或异面,不正确;b由面面平行的判定定理知正确;c若平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则与可能平行,也可能相交,不正确;易知d正确.【变式备选】如图是正四面体的平面展开图,g,h,m,n分别为de,be,ef,ec的中点,在这个正四面体中,gh与ef平行;bd与mn为异面直线;gh与mn成60角;de与mn垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是_.【解析】还原成正四面体a-def,其中h与n重合,a,b,c三点重合.易知gh与ef异面,bd与mn异面.连接gm,因为gmh为等边三角形,所以gh与mn成60角,易证deaf,又mnaf,所以mnde.因此正确结论的序号是.答案:3.(5分)平面过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a,平面cb1d1,平面abcd=m,平面abb1a1=n,则m,n所成角的正弦值为()a.32b.22c.33d.13【解析】选a.方法一:因为平面cb1d1,平面abcd平面a1b1c1d1,平面abcd=m,平面cb1d1平面a1b1c1d1=b1d1,所以mb1d1.因为平面cb1d1,平面abb1a1平面dcc1d1,平面abb1a1=n,平面cb1d1平面dcc1d1=cd1,所以ncd1.所以b1d1,cd1所成的角等于m,n所成的角,即b1d1c等于m,n所成的角.因为b1d1c为正三角形,所以b1d1c=60,所以m,n所成的角的正弦值为32.方法二:由题意画出图形如图,将正方体abcd-a1b1c1d1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面aef平面cb1d1,所以平面aef即为平面,m即为ae,n即为af,所以ae与af所成的角即为m与n所成的角.因为aef是正三角形,所以eaf=60,故m,n所成角的正弦值为32.4.(10分)已知:空间四边形abcd(如图所示),e,f分别是ab,ad的中点,g,h分别是bc,cd上的点,且cg=13bc,ch=13dc.求证:(1)e,f,g,h四点共面.(2)三直线fh,eg,ac共点.【证明】(1)连接ef,gh,因为e,f分别是ab,ad的中点,所以efbd.又因为cg=13bc,ch=13dc,所以ghbd,所以efgh,所以e,f,g,h四点共面.(2)易知fh与直线ac不平行,但共面,所以设fhac=m,所以m平面efhg,m平面abc.又因为平面efhg平面abc=eg,所以meg,所以三直线fh,eg,ac共点.5.(10分)如图所示,等腰直角三角形abc中,a=90,bc=2,daac,daab,若da=1,且e为da的中点.求异面直线be与cd所成角的余弦值.【解析】如图所示,取ac的中点f,连接ef,bf,在acd中,e,f分别是ad,