（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第17讲 导数与函数的综合问题导学案 新人教A版

第17讲导数与函数的综合问题【课程要求】掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力对应学生用书p47【基础检测】1某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析令yx239x400，得x1或x40，由于当0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案402从边长为10cm16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，x(0，5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或x(舍去)，ymax6122144(cm3)答案1443若函数f(x)在r上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()a3f(1)f(3)c3f(1)f(3) df(1)f(3)解析由于f(x)xf(x)，则0在(0，)上恒成立，因此在(0，)上是单调递减函数，f(3)答案b4已知函数f1lnx，若存在x00，使得f0有解，则实数a的取值范围是()aa2ba0，使得f0有解，则由f1lnx0，即1lnx，即axxlnx，设hxxlnx，则hlnx，由h0得lnx0，得0x1，此时函数递增，由h1，此时函数递减，即当x1时，函数h取得极大值h1ln11，即h1，若axxlnx有解，则a1，故选c.答案c5若函数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是()a.b.c(0，4e2) d(0，)解析函数yx2exa的导数为y2xexx2exxex(x2)，令y0，则x0或2，当2x0上时，y0，函数在两个区间上单调递增，函数f(x)在x2处取极大值，在x0处取极小值，函数的极值为：f(0)a，f(2)4e2a，已知函数f(x)x2exa恰有三个零点，故a0，解得实数a的取值范围是.答案b【知识要点】1优化问题与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题2导数在优化问题中的应用3导数与不等式(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值4导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数对应学生用书p48利用导数研究生活中的优化问题例1某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为c，计划修建的公路为l.如图所示，m，n为c的两个端点，测得点m到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点n到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xoy.假设曲线c符合函数y(a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线c相切于p点，p的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解析 (1)由题意知，点m，n的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知y(5x20)，则点p的坐标为.设在点p处的切线l交x，y轴分别于a，b两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得a，b.故f(t)，t5，20设g(t)t2，t5，20，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米小结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题，结合实际问题作答1某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为v立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率)(1)将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解析 (1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意知200rh160r212000，所以h(3004r2)，从而v(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5，故函数v(r)的定义域为(0，5)(2)因为v(r)(300r4r3)，所以v(r)(30012r2)令v(r)0，解得r15，r25(舍去)当r(0，5)时，v(r)0，故v(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，v(r)0，故v(r)在(5，5)上为减函数由此可知，v(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大利用导数证明不等式例2设函数falnx2x.(1)当a3时，求f的极值；(2)当a1时，证明：f2x.解析 (1)当a3时，f3lnx2x，f2(x0), 当x时，f0, f在上单调递增；当x时，f0)，所以不等式f2x可变为lnx.要证明上述不等式成立，即证明xlnx1.设gxlnx1，h(x)，则glnx1，令g0，得x，在上，g0, g是增函数所以gg1.h，令h0得x1，在上，h0, h是增函数；在上，h0, h是减函数，所以hh1，所以hg，即，由此可知f2x.小结证明不等式的常用方法构造法(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是减函数，同时若f(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数，同时若f(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)g(x)2已知函数f(x)ln(1x)，g(x)kx(kr)(1)证明：当x0时，f(x)x；(2)证明：当k0，使得对任意的x(0，x0)恒有f(x)g(x)解析 (1)令f(x)f(x)xln(1x)x，x0，)，则有f(x)1.当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0时，f(x)0，故g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)0，故任意正实数x0均满足题意当0k0，取x01，对任意x(0，x0)，有g(x)0，从而g(x)在0，x0)上单调递增，所以g(x)g(0)0，即f(x)g(x)综上，当k0，使得对任意x(0，x0)恒有f(x)g(x)利用导数解决含参不等式问题例3已知函数fex1ax，ar.(1)讨论函数f的单调区间；(2)若x，flnxa1恒成立，求a的取值范围解析 (1)f(x)ex1a.(i)当a0时，f(x)0，函数f(x)在r上单调递增；(ii)当a0，即xln(a)1，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即xln(a)1，函数f(x)单调递减综上，当a0时，函数f(x)在r上单调递增；当a0时，函数f(x)的单调递增区间是(ln(a)1，)，单调递减区间是(，ln(a)1)(2)令a1，由(1)可知，函数fex1x的最小值为f0，所以ex1x0，即ex1x.flnxa1恒成立与flnxa10恒成立等价，令gflnxa1，即gex1alnx1，则gex1a.当a2时，gex1axa2aa20.(或令ex1，则ex1在上递增，0，在上递增，2.g0.)g在区间上单调递增，gg0，flnxa1恒成立当a2时，令hex1a，则hex1，当x1时，h0，函数h单调递增又h2a0，存在x0，使得h0，故当x时，hh0，即gh0，即g0，故函数g在上单调递增，gg0时，x1(kx)f(x)恒成立，求整数k的最大值解析 (1)函数f(x)的定义域为(，)，且f(x)exa.当a0时，f(x)0，f(x)在(，)上是增函数，f(x)无极值；当a0时，令f(x)exa0，得xlna.xlna时f(x)lna时f(x)0，此时f(x)在(lna，)上是增函数，所以f(x)有极小值f(lna)aalna2，无极大值，综上：当a0时，无极值；当a0时，有极小值f(lna)aalna2，无极大值.(2)法一：若a1，则f(x)exx2，f(x)ex1.所以x1(kx)f(x)(kx)(ex1)(x0)，分离参数得：k0)令g(x)x(x0)，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增，又h(1)e30，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，即g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1，2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2，3)，由于式等价于k(kx)f(x)(kx)(ex1)，即(xk)(ex1)x10，令g(x)(xk)(ex1)x1(x0)，则g(x)(xk1)ex.当1k0，即k1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)1; 当1k1时，x(0，k1)时，g(x)0，此时g(x)ming(k1)k1ek1，设h(k)k1ek1(k1)，则h(k)1ek11)，所以h(k)k1ek1在(1，)上单调递减，又h(2)3e0，h(3)4e20，故整数k的最大值为2.利用导数研究函数的零点或方程根的问题例4已知f(x)ex(ax2x1)(1)当a0时，求证：f(x)1；(2)当00，所以h(x)在上单调递增，又h(0)0，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minh(0)0，即h(x)0，(*)式成立所以原不等式成立(2)问题转化为函数h(x)exax2x1的零点个数而h(x)ex2ax1，h(x)ex2a.令h(x)0，解得xln2a.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增所以h(x)minh(ln2a)2a2aln2a1，设m2a，g(m)mmlnm1，而g(m)1(1lnm)lnm，则g(m)在上单调递减，在上单调递增，所以g(m)maxg(1)0，即h(x)min0 (当m1即a时取等号)1当a时，h(x)min0, 则h(x)0恒成立所以h(x)在r上单调递增，又h(0)0，则h(x)有一个零点；2当0a时，ln2a0，h(x)minh(ln2a)0，则存在x2h(0)0.又x时，h(x)exax2x10，h(0)0.所以这时h(x)有两个零点；综上：a时，原方程有一个解；当0a0，解得x1，所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递增，在(2，1)上单调递减，所以f(x)极小值为f(1)(111)e111.(2)函数f(x)ef(x)g(x)在(0，)上总有零点，即f(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，则f(x)exaxb在(0，)上单调递增，故f(x)在(0，)上总有零点的必要条件是f(0)1.以下证明：当b1时，f(x)exaxb在(0，)上总有零点若a0，由于f(0)1b0，且f(x)在(0，)上连续，故f(x)在上必有零点；若a0，f(0)1bx2在x(0，)上恒成立，取x0ab1，则f(x0)f(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)b(ab1)0，由于f(0)1b0，故f(x)在(0，ab)上必有零点综上，实数b的取值范围是(1，)对应学生用书p50(2019全国卷理)已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点解析 (1)设g(x)f(x)，则g(x)cosx，g(x)sinx.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存