九年级数学下册 第29章几何的回顾29.2反证法课件 华东师大版

29 2反证法课题学习中点四边形 1 叙述反证法的概念证明命题时 不是直接从题设推出结论 而是从命题结论的 出发 引出 从而证明命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反面 矛盾 2 总结反证法证明命题的一般步骤 1 假设结论的 是正确的 2 通过逻辑推理 推出与公理 已证的定理 定义或已知条件 3 由矛盾说明假设 从而得到 正确 反面 相矛盾 不成立 原结论 3 中点四边形顺次连结任意四边形各边的 所组成的四边形称为中点四边形 点拨 中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半 且与相应的对角线平行 中点 反证法 例1 8分 已知 abc中 ab ac 求证 b c必为锐角 易错提醒 b与 c必为锐角的反面是两角为直角或钝角 规范解答 ab ac b c 1分假设 b c不是锐角 则可能有两种情况 b c 90 或 b c 90 3分 1 若 b c 90 则 a b c 180 这与三角形内角和定理矛盾 5分 2 若 b c 90 则 a b c 180 这与三角形内角和定理矛盾 7分所以假设不能成立 故 b c必为锐角 8分 互动探究 直接法与反证法的区别是什么 提示 直接法是从已知出发 根据公理 定义 定理直接推断结论正确性的方法 而反证法是由否定结论得出矛盾 从而推断结论正确的方法 规律总结 适宜使用反证法的四种情况1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 有关结论是以 至多 或 至少 的形式出现的一类命题 3 关于唯一性 存在性的问题 4 结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题 跟踪训练 1 用反证法证明 若 o的半径为r 点p与圆心的距离d大于r 则点p在 o的外部 首先应假设 a d r b 点p在 o外 c d r d 点p在 o上或点p在 o内 解析 选d 命题 若 o的半径为r 点p与圆心的距离d大于r 则点p在 o的外部 的结论为 点p在 o的外部 若用反证法证明该命题 则首先应假设命题的结论不成立 即点p在 o上或点p在 o内 高手支招 反证法证明问题的关键是正确作出假设 并找到合理的矛盾之处 有些命题的反面不止一种情况 证明时应考虑全面 并分别推出矛盾 2 用反证法证明 若 a b 则a b 时 应假设 解析 a b的等价关系有a b a b两种情况 因而a b的反面是a b 因此用反证法证明 a b 时 应先假设a b 答案 a b 中点四边形 例2 已知 如图 在四边形abcd中 e为ab上一点 ade和 bce都是等边三角形 ab bc cd da的中点分别为p q m n 试判断四边形pqmn为怎样的四边形 并证明你的结论 解题探究 1 试说明mn和pq的关系 答 平行且相等 理由如下 如图 连结ac bd pq为 abc的中位线 pqac 同理mnac mnpq 2 由 知mnpq 四边形pqmn为平行四边形 3 ac和bd相等吗 为什么 答 ac和bd相等 在 aec和 deb中 aed ceb 60 aed dec ceb dec 即 aec deb 又 ae de ec eb aec deb ac bd 4 mn和pn相等吗 为什么 答 mn和pn相等 由 知mn ac 同理可证pn bd 由 知ac bd mn pn 5 结论 由 可知四边形pqmn为菱形 规律总结 用对角线判断中点四边形1 如果原四边形的对角线既不相等也不垂直 则其中点四边形为平行四边形 2 如果原四边形对角线互相垂直 则其中点四边形为矩形 如菱形的中点四边形是矩形 3 如果原四边形对角线相等 则其中点四边形为菱形 如矩形的中点四边形是菱形 4 如果原四边形对角线互相垂直且相等 则其中点四边形为正方形 如正方形的中点四边形是正方形 跟踪训练 3 2011 张家界中考 顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是 a 平行四边形 b 矩形 c 菱形 d 正方形 解析 选a 根据 顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形 可知选a 4 2011 宜昌中考 如图 在梯形abcd中 ab cd ad bc 点e f g h分别是ab bc cd da的中点 则下列结论一定正确的是 a hgf ghe b ghe hef c hef efg d hgf hef 解析 选d 因为点e f g h分别是等腰梯形的ab bc cd da的中点 所以四边形efgh为菱形 根据菱形的性质可以判断 hgf hef 5 观察探究 完成下面各题 如图 四边形abcd中 点e f g h分别是边ab bc cd da的中点 顺次连结e f g h 得到的四边形efgh叫中点四边形 1 请你探究并填空 当四边形abcd变成平行四边形时 它的中点四边形是 当四边形abcd变成矩形时 它的中点四边形是 当四边形abcd变成菱形时 它的中点四边形是 当四边形abcd变成正方形时 它的中点四边形是 2 根据以上观察探究 请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的 解析 1 填空依次为平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的 1 证明命题 任何偶数都是4的倍数 是假命题可举反例的数字为 a 3 b 4 c 8 d 6 解析 选d 因为3不是偶数 不符合条件 故错误 4是偶数 且能被4整除 故错误 8是偶数 且是4的2倍 故错误 6是偶数 但是不能被4整除 故选d 2 某花木场有一块如等腰梯形abcd的空地 如图 各边的中点分别是e f g h 用篱笆围成的四边形efgh场地的周长为40m 则对角线ac m 解析 根据中位线定理易证中点四边形efgh是平行四边形 因为等腰梯形的对角线相等 即ac bd 同时可推证ef fg 所以四边形efgh是菱形 已知菱形efgh的周长为40m 所以边ef 10m 所以ac 2ef 20m 答案 20 3 已知命题 在 abc中 若ac2 bc2 ab2 则 c 90 要证明这个命题是真命题 可用反证法 其步骤为 假设 根据 一定有 但这与已知 相矛盾 因此假设是错误的 于是可知原命题是真命题 解析 c 90 的反面是 c 90 在直角三角形abc中 依据勾股定理可知ac2 bc2 ab2 这与已知ac2 bc2 ab2相矛盾 答案 c 90 勾股定理ac2 bc2 ab2ac2 bc2 ab2 4 在四边形abcd中 点e f g h分别是边ab bc cd da的中点 如果四边形efgh为菱形 那么四边形abcd是 只要写出一种即可 解析 答案不唯一 只要是对角线相等的四边形均符合要求 如 正方形 矩形 等腰梯形等