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7.2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。(1).，迭代公式；(2).，迭代公式；(3).，迭代公式。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解 考虑的领域。(1).当时，故迭代在上整体收敛。(2).当时，故迭代在上整体收敛。(3).当时，故迭代发散。7.4.给定函数，设对一切，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。证明 由于，故为单调函数因此方程的根是唯一的。迭代函数，。由及，得：故因此可得 即。7.8.分别用二分法和牛顿法求的最小正根。解 显然满足方程。另外，当较小时，故当时，因此方程的最小正根应在。记，由，知是的有根区间。对于二分法，计算结果见下表。的符号04.04.64.3+14.34.64.45+24.454.64.525-34.454.5254.487 5+44.487 54.5254.506 25-54.487 54.506 254.496 875-64.487 54.496 8754.492 187 5+74.492 187 54.496 8754.494 531 25-84.492 187 54.494 531 254.493 359 375+94.493 359 3754.494 531 254.493 445 313-此时。若用牛顿法，由于，故取，迭代结果见下表。14.545 732 12234.494 171 6354.493 409 45824.506 145 58844.493 412 19764.493 409 458所以的最小正根为。7.9.研究求的牛顿公式，证明对一切且序列是递减的。证明 牛顿迭代公式为，因为，所以，且。又因为，因而，即对一切，且序列是递减的。7.12.应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解 ，故，牛顿法迭代公式为，。当时，为的单根，此时，牛顿法在附近是平方收敛的。当时，迭代公式退化为，因而，即迭代公
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