安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）高二（下）开学数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若点A（-1，0，2），B（2，1，-1）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A.（3，1，-3） B.（1，3，2） C.（3，1，3） D.（-3，1，-3）2.已知直线l1的斜率，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（）A. B. C. D.-3.若点A在焦点为F的抛物线y2=4x上，点P（3，2），则|PA|+|AF|的最小值为（）A.2 B.2+ C.2+2 D.44.已知平面α的一个法向量，点A（-2，1，3）在α内，则点B（4，2，1）到α的距离为（）A.2 B.3 C. D.5.古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点P（x,y）到定点（2，0）和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线6.点（x,y）在曲线上，则|3x-4y+12|的取值范围为（）A. B.[7，25] C.[7，15] D.7.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点M在直线上运动，c为半焦距，若∠A1MA2的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（）A. B.2 C. D.8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（）A.2 B.2 C.3 D.3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列结论正确的有（）A.倾斜角为30°的直线l的一个方向向量是

B.直线（m+1）x+y-1=0恒过定点（0，-1）

C.不论m为何实数，直线l1：mx+y-3=0与直线l2：x-my+2=0互相垂直

D.在x,y轴上的截距为a,b的直线可表示为10.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点P（x,y）到两个定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积等于2，则下列结论正确的是（）A.P的轨迹方程为（x2+y2+1）2=4x2+4 B.P的轨迹关于y轴对称

C.存在点P，使得|PF1|+|PF2|=2 D.|OP|的取值范围为11.双曲线具有如下光学性质：F1，F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线n的反向延长线过F1.如图，若双曲线C的方程为，PT是双曲线在点P处的切线，则下列结论正确的是（）A.若|PF1||PF2|=6，则m⊥n

B.当点P异于双曲线的顶点时，PT平分∠F1PF2

C.当n过点Q（4，3）时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为4

D.若|PF2|=3，则点T的坐标为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为

.13.在三棱锥A-BCD中，，AB⊥AD，BC⊥CD，平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为

.14.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x,y）与点B（a,b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x,y满足x2+y2-2x+4y+1=0，则m=x2+y2+4x-4y的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知两条直线.

（1）若l1⊥l2，求tanθ；

（2）若l1∥l2，求θ的值.16.(本小题15分)

已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，是抛物线C上一点，且|PF|=4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且线段AB的中点坐标为，求弦长|AB|.17.(本小题15分)

阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

（1）证明：平面AEF⊥平面PBC.

（2）若，求直线AP与平面AEF所成角的正弦值.18.(本小题17分)

古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（1，0），点P满足.

（1）求点P的轨迹方程.

（2）设点C（3，0），在x轴的正半轴上是否存在异于点C的点D（a,0），使得对于点P的轨迹上任意一点M，满足为定值？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

已知圆，圆P与圆F1，F2均外切.

（1）求圆心P的轨迹方程.

（2）过点F2的直线l与P的轨迹交于A，B两点，过原点O作直线OM⊥AB，点M为直线OM与点P的轨迹的交点.

①当AB的斜率为0时，求的值；

②当AB的斜率不为0时，求证：为定值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】[1，41]

15.【答案】解：（1）由题意，两条直线，

若l1⊥l2，得2cosθ+sinθ=0，

解得tanθ=-2；

（2）由l1∥l2，得2cosθsinθ=1，解得sin2θ=1，

因为θ∈[0，2π]，所以或，此时直线l1与l2的纵截距分别为和，

因为当时，，此时两直线重合，

因为当时，，此时l1∥l2，

故．

16.【答案】解：（1）由题可知，

解得（舍去）或，

故抛物线C的方程为y2=4x.

（2）根据题意可得，，

联立，两式相减得，即，

因为线段AB的中点坐标为，

所以y1+y2=2，则，

故直线l为，

联立，得x2-5x+4=0，

解得x=1或x=4，

所以A（1，-2），B（4，4），

所以．

17.【答案】解：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，且BC⊂底面ABCD，

所以PA⊥BC，

因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE．

由PA=AB，E为线段PB的中点，可知AE⊥PB，

因为PB∩BC=B，且PB，BC⊂平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，

因为AE⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面PBC．

（2）因为PA⊥底面ABCD，且AB⊥AD，

所以以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示．

设AP=1，则，

所以，，．

设平面AEF的法向量为，

则，则，

取x=-1，可得y=2，z=1，所以，

设直线AP与平面AEF所成的角为θ，

所以=，

即直线AP与平面AEF所成角的正弦值为．

18.【答案】解：（1）设点P（x,y）．由，

可得，整理可得x2+y2-4x=0，

化为标准方程可得（x-2）2+y2=4，所以点P的轨迹方程为圆（x-2）2+y2=4；

（2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值，

则点M的轨迹（即圆（x-2）2+y2=4）应为C（3，0），D（a,0）的阿波罗尼斯圆，

当M分别位于（0，0）和（4，0）时，满足为定值，

可得，解得a=3

（舍去）或a=6，所以a=6．

设点M（x,y），因为|MC|2=（x-3）2+y2=（x-3）2+（4x-x2）=-2x+9，

|MD|2=（x-6）2+y2=（x-6）2+（4x-x2）=-8x+36，

所以可得，经验算，当点D的坐标为（6，0）时，满足，

故存在点D，使得为定值，此时a=6．

19.【答案】解：（1）圆，

则圆F1的圆心F1（0，-5），半径r1=9，圆F2的圆心F2（0，5），半径r2=1，

由条件可得|PF1|-9=|PF2|-1，即|PF1|-|PF2|=8＜|F1F2|=10，

即根据双曲线的定义可知点P是以F1，F2为焦点，以8为实轴长的双曲线的上支，

则a=4，c=5，可得b2=c2-a2=9，

故圆心P的轨迹方程为．

（2）显然直线A