第四章数据分布特征的描述ppt课件

第四章数据分布特征的描述 1 2 3平均是21 1 1 1 100000 1亿个数平均和除以项数1亿和除以项数1亿 1 第一节集中趋势 数值平均数 集中趋势亦称为趋中性 集中性 是指变量分布以某一数值为中心的倾向变量分布的集中趋势要用平均指标反映平均指标是将随机变量的各变量值差异抽象化 以反映变量值的一般水平或平均水平的指标 也就是反映变量分布中心值或代表值的指标 平均数因计算方法不同可分为数值平均数和位置平均数两类 数值平均数主要有算术平均数 调和平均数和几何平均数等三种位置平均数主要有中位数和众数 一 算术平均数 算术平均数也称为均值 是总体标志总量与总体单位总量对比的结果 算术平均数是最为常用的用以描述集中趋势的指标 因为它的计算方法客观上符合许多现象个体与总体之间存在的数量关系 即总体中每个个体标志值的算术和等于总体标志总量 用总体标志总量除以总体单位总量 就可以消除个体标志值之间的差异而体现出总体的一般水平 在实际工作中 由于所掌握的统计资料的不同 利用上述公式进行计算时 可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种 一 简单算术平均数 简单算术平均数是根据未分组数据计算的 即直接将变量的每个变量值相加 除以变量值的个数 设某随机变量的各变量值为x1 x1 xn 则简单算术平均数的计算公式如下 例4 1某IT企业人员年薪样本资料如表计算该企业的平均年薪 二 加权算术平均数 加权算术平均数是根据单项数列或组距数列计算的 即以各组变量值乘以相应的频数求出各组标志总量 除以总频数得到的 其计算公式为 例4 2 某企业50名工人加工零件样本资料 分组后如表4 2 计算该企业50名工人的平均日产量 算术平均数的数学性质 1 算术平均数与其总体单位总数的乘积等于总体标志总量2 如果每个变量值都加 或减 一个任意数值A 则其算术平均数也要增多 或减少 这个常数A3 如果每个变量值都乘以 或除以 一个任意数值A 则其算术平均数也乘以 或除以 这个常数A4 各个变量值与其算术平均数离差之和为零5 各个变量值与算术平均数离差平方之和最小 调和平均数 一 简单调和平均数 我们以H表示调和平均数 与算术平均数类似 调和平均数也有简单的和加权的两种形式 简单调和平均数的计算公式为 例4 4 某市场上白菜早中晚的价格各不相同 其中 早上2 5元 斤 中午2元 斤 晚上1 5元 斤 如果早中晚各买1斤 求平均价格 如果早中晚各买1元 求平均价格 二 加权调和平均数 简单调和平均数是在各标志总量对平均数起同等作用的条件下应用的 但在更多的场合 各标志总量对平均数的作用是不同的 这时就应以各标志总量作权数 计算加权调和平均数 加权调和平均数的公式为 例4 5 某企业分别购进原材料三批 价格及采购金额资料见表 试计算购入材料的平均价格 算术平均和调和平均根本就是一回事最主要的区别在权数的不同区别权数就看单位就可以了 12乘就算术13除就调和 三 几何平均数 几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根几何平均数用来计算平均比率 平均速度 产品平均合格率 复利法的平均利率几何平均数分为简单几何平均数 加权几何平均数 一 简单几何平均数 直接将n个变量值连乘 然后对其连乘积开n次方根所得的平均数即为简单几何平均数 它是几何平均数的基本形式 计算公式为 例4 6 某厂有三个车间 进入第一车间的原件有100000件 第一车间的合格率为50 出车间的为50000件 进入到第二车间 第二车间的合格率为10 出车间的为5000件 进入到第三车间 第三车间的合格率为2 出车间的为100件 求其平均合格率 例4 7 生产某种产品要经过铸造 机加工和电镀3个车间进行连续加工 各车间产品合格率分别为95 92 90 求各车间产品平均合格率 二 加权几何平均数 资料中的变量值重复出现时 简单几何平均数就变成了加权几何平均数 例4 8 投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的 25年的年利率分配是 有1年为3 有4年为5 有8年为8 有10年为10 有2年为15 求平均年利率 几何平均用连乘而不用连加某投资者持有股票 初始投资10000 2001 2004四年的收益率为4 5 2 1 25 5 1 9 求平均收益率 第二节集中趋势 位置平均数 位置平均数是根据标志值在分配数列中所处的位置来确定的代表值与数值平均数相比具有不受极端数值影响的特点对于整个总体来说 具有非常直观的代表性 所以常被用来反映分布的集中趋势常用的位置平均数有众数 中位数 一 众数 一 众数的含义 统计上把这种在一组数据中出现次数最多的变量值叫做众数 用M0表示 Mode 主要用于品质标志数据的集中趋势测量 也适用于作为数量标志数据集中趋势的测量 二 众数计算 1 根据单项数列确定众数根据单项数列确定众数比较容易 出现次数最多的变量值即为众数 例4 9 某院入校新生资料如表 求众数 2 由组距数列计算众数 组距式数列 只能按一定的方法来推算众数近似值首先要根据各组次数确定众数组 即众数所在的组其次 利用公式计算众数 例4 10 某企业50名工人加工零件本资料 计算众数 二 中位数 一 中位数的含义 中位数是指按数据大小顺序排列起来所形成的分配数列中 居于中间位置的变量值中位数的作用与众数相近 也是研究数据的代表值中位数用Me表示 Middle 从定义知 所研究的数据中有一半小于中位数 一半大于中位数 二 中位数的计算 确定中位数 必须将总体各单位的标志值按大小顺序排列 1 根据未分组资料计算 2 由单项数列计算 单项式数列 首先 要求计算权数和的一半 然后对各组次数顺序做累计 确定中为数所在的组 与此对应的变量值即为中位数 例4 13 某村人均亩产量情况如表4 7 计算中位数 所以 Me 3000 3 由组距数列计算 组距数列确定中位数 应先按权数和的一半求出中位数组 然后再按下限公式或上限公式确定中位数 例4 14 某农村信用社按定期存款账号进行每隔10户的系统抽样 得到如下资料 计算其中位数 众数 中位数和算术平均数的比较 算术平均数 众数和中位数之间的关系与次数分布数列有关次数分布对称时 算术平均数 众数和中位数都是同一数值在尾巴拖在右边的正偏态 或右偏态 分布中 众数最小 中位数适中 算术平均数最大在尾巴拖在左边的负偏态 或左偏态 分布中 众数最大 中位数适中 算术平均数最小 课堂练习 1 某乡甲乙两村的粮食生产情况如下 求哪个村的总平均亩产高 2 某超市周调查销售数据如表 求众数 解 这里的变量为 饮料品牌 这是个分类变量 不同类型的饮料就是变量值在所调查的50人中 购买可口可乐的人数最多 为15人 占总被调查人数的30 因此众数为 可口可乐 这一品牌 即Mo 可口可乐 3 某零件车间工人月产量数据如表 求Me 第三节离中趋势 变量分布既有集中趋势的一面 又有离中趋势的一面离中趋势 就是变量分布中各变量值背离中心值的倾向对离中趋势的描述 就是要反映变量分布中各变量值远离中心值或代表值的状况 以更客观地反映变量分布的特征变量分布的离中趋势用离散指标来反映离散指标 也称为标志变动度 是指反映变量值变动范围和差异程度的指标 即反映变量分布中各变量值远离中心值或代表值程度的指标 亦称为变异指标或标志变动度指标常用的离散指标主要有 全距 亦称极差 四分位差 异众比率 平均差 标准差 离散系数等 全距 全距也称为极差 是指一组数据中最大值与最小值之差 其计算公式为 例4 15 有两个学习小组的统计学开始成绩分别为 第一组 60 70 80 90 100第二组 78 79 80 81 82两个小组的考试成绩平均分都是80分 但是哪一组的分数比较集中呢 R1 100 60 40 分 R2 82 78 4 分 这说明第一学习小组的离中趋势远大于第二组资料的标志变动度 即第二组的分数比较集中 二 平均差 平均差是各变量值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数 用A D表示它能够综合反映各单位标志值变动的影响平均差大 表示标志变动度大 算术平均数代表性小计算平均差之所以采用离差的绝对值 是由于各标志值对算术平均数的离差之和等于零 例4 17 某厂按月收入水平分组的组距数列如表 计算平均差 三 方差与标准差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要 最常用的指标方差是各变量值与其算术平均数离差平方的平均数根据总体数据计算的称总体方差根据样本数据计算的称样本方差 方差标准差 总体样本 未分组分组未分组分组 例4 18 考察一台机器的生产能力 利用抽样程序来检验生产出来的产品质量 数据如表 根据法则 如果方差大于0 005 则该机器必须关闭待修 问该机器是否必须关闭 离散系数 对于平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值 不能直接用上述离散程度比较为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响 需要计算离散系数离散系数消除了数据水平高低和计量单位的影响 因而可以用于对不同组别数据离散程度的比较 例4 20 某管理局抽查了所属的8家企业 其产品销售数据如表试比较产品销售额与销售利润的离散程度 第四节分布形状的描述 一 分布形状概述 变量分布的形状是各种各样的 有J型的 U型的和钟型等钟型分布 有的两侧完全对称 有的左偏 有的右偏 有的比较扁平 有的比较适中 有的则比较陡峭分布形状不同 表明变量分布的内在结构也不同形状指标就是反映变量分布具体形状 即左右是否对称 偏斜程度与陡峭程度如何的指标反映变量分布偏斜程度的指标 称偏态系数反映变量分布陡峭程度的指标 称峰态系数偏态系数可以告诉我们变量分布是左偏还是右偏峰态系数则可以告诉我们分布是陡峭还是扁平 二 偏态系数 偏态的测定是通过计算偏态系数来实现的 通常用SK来表示 偏态系数的常用计算公式为 第一个式子是根据未分组资料计算的 第二个式子是根据分组资料计算的 其中SK为偏态系数 n为数量个数或权数和 f为频数 s为样本标准差 一般情况下 有如下判定标准 偏态系数 0为对称分布偏态系数 0为右偏分布偏态系数 0为左偏分布 例4 21 某车间工人日加工零件数据见表 试计算偏态系数 三 峰态系数 峰态的概念首先由统计学家皮尔逊于1905年提出 是对变量分布扁平性或陡峭性的测度 通常是指钟型分布的顶峰与标准正态分布相比偏扁平或偏陡峭的程度分三种情况 标准正态峰态 尖峰和平峰 如果变量分布的频数比较集中于众数附近 分布曲线比较陡峭 使分布曲线的顶部较标准正态曲线更为突起 则变量分布的峰态属于尖峰 如果变量分布各组的频数比较接近 分布曲线比较扁平 使分布曲线的顶部低于标准正态曲线 则变量分布的峰态属于平峰峰态的测定是通过计算峰态系数来实现的 通常用K来表示 第一个式子是根据未分组资料计算的 第二个式子是根据分组资料计算的 其中K为峰态系数 n为数据个数或权数和