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专题讲练 第一部分 专题3立体几何 高考热点链接 热点解读 空间表面积与体积是考查几何命题的热点 多以选择题填空题形式出现 考查空间想象能力 例1如图 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 则四棱锥a1 bb1d1d的体积为 几何体的面积和体积 分析 求出四棱锥的底面积与高 然后求解四棱锥的体积 名师点评 解关于表面积 体积问题常用方法 1 分割法 一个几何体的体积等于它的各部分体积之和 2 补体法 与分割一样 有时为了计算方便 可将几何体补成易求体积的几何体 如长方体 正方体等 另外由台体的定义 我们在有些情况下 可以将台体补成锥体研究体积 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 3 等积变换法 相同的几何体的体积相等 同一个几何体可以用不同的面做底 注意 三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面 液状物体的形状改变体积不变 比如 水在容器中形状可以多变 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等 体积相等的两个几何体叫作等积体 4 计算圆柱 圆锥 圆台的体积时 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题求解 热点解读 立体几何的解答题是必考试题 主要围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题 考查向量在证明空间位置关系 求解空间角和距离问题中的应用 考查空间向量在解决探索性问题中的应用 其目的是考查对立体几何的向量方法的掌握程度 考查运算求解能力 建立合适的空间直角坐标系和求平面的法向量是解决问题的两个基础 空间向量与立体几何 例2 2019年新课标 如图 长方体abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形 点e在棱aa1上 be ec1 1 求证 be 平面eb1c1 2 若ae a1e 求二面角b ec c1的正弦值 分析 1 要证be 平面eb1c1 需在平面eb1c1内找两条与be垂直的相交直线 2 长方体中很容易建立空间直角坐标系 利用向量法求二面角 此处需先求aa1 解析 1 由已知得b1c1 平面abb1a1 be 平面abb1a1 故b1c1 be 又be ec1 b1c1 ec1 c1 所以be 平面eb1c1 2 由 1 知be 平面eb1c1 则be b1e 由ae a1e 易得rt abe rt a1b1e 所以 aeb 45 a1eb1 45 所以ae ab aa1 2ab 名师点评 立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明 空间中线面位置关系的证明主要包括线线 线面 面面三者的平行与垂直关系 其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理 要防止步骤不完
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