数字信号处理复习知识点(第一章到第四章)PPT课件

第四章快速傅立叶变换 FFT 一 直接用DFT计算的运算量与用FFT计算的运算量比较 减少运算量的途径 二 FFT算法中一些概念 按时间抽取法解过程的规律 1 原位运算 in place 2 码位倒读规则 乱序输入 顺序输出 1 级 概念将N点DFT先分成两个N 2点DFT 再是四个N 4点DFT 直至N 2个两点DFT 每分一次称为 一 级运算 因为N 2M所以N点DFT可分成M级依次m 0 m 1 M 1共M级 2 组 概念 每一级都有N 2个蝶形单元 例如 N 8 则每级都有4个蝶形单元 每一级的N 2个蝶形单元可以分成若干组 每一组具有相同的结构 相同的因子分布 第m级的组数为 例 N 8 23 分3级 m 0级 分成四组 每组系数为m 1级 分成二组 每组系数为m 2级 分成一组 每组系数为 3 因子的分布 结论 每由后向前 m由M 1 0级 推进一级 则此系数为后级系数中偶数序号的那一半 三 一个完整N 8的按DIT时间抽取FFT的运算流图 x 0 x 4 x 2 x 6 x 1 x 5 x 3 x 7 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 m 0 m 1 m 2 一个完整N 8的按DIF频率抽取FFT的运算流图 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 X 0 X 4 X 2 X 6 X 1 X 5 X 3 X 7 m 0 m 1 m 2 2 直接利用FFT流图方法的推导 可知 只须将频域成份一个求共轭变换 即 1 将X k 的虚部乘以 1 即先取X k 的共轭 得X k 2 将X k 直接送入FFT程序即可得出Nx n 3 最后再对运算结果取一次共轭变换 并乘以常数1 N 即可以求出IFFT变换的x n 的值 此为DFT可用FFT程序 3 用CZT求解DFT的流图 6 说明1 1 A为起始样点位置 6 说明2 2 zk是z平面一段螺线上的等分角上某一采样点 6 说明3 6 说明4 10 CZT运算量与直接运算量比较 当M N足够小时 直接算法运算量少 但M N值比较大时 大于50 CZT算法比直接算法的运算量少得多 例M 50 N 50 N M 2500次而CZT 1600次 重叠相加法 1 x n 为分段 每段长为p点 p选择与M数量组相同 用xi n 表示x n 的第i段 重叠保留法 第三章离散傅立叶变换 DFT 一 四种不同的傅立叶变换对傅里叶级数 FS 连续时间 离散频率的傅里叶变换 连续傅里叶变换 FT 连续时间 连续频率的傅里叶变换 序列的傅里叶变换 DTFT 离散时间 连续频率的傅里叶变换 离散傅里叶变换 DFT 离散时间 离散频率的傅里叶变换 四种付里叶变换形式的归纳 二 DFS定义 设为周期为N的周期序列 则其离散傅里叶级数 DFS 变换对为 正变换反变换其中 三 DFT 1 定义正变换反变换X k x n 为有限长序列的离散付里叶变换对 已知其中一个序列就能确定另一个序列 2 DFT性质 时移特性已知DFT x n X k 则DFT x n m NRN n WN mkX k 频移特性设频域N点 有限长序列X k 则 3 圆周卷积与线性卷积的性质对比 4 奇偶虚实关系表 四 频域抽样理论 长度为M的有限长序列 频域抽样不失真的条件 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M 即满足N M 此时可得到表明长度为N 或小于N 的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示 五 DFT做傅里叶变换 级数 的逼近时所产生的问题 混叠现象 频谱泄漏栅栏效应 1 混叠现象 利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换 为避免混叠失真 要求满足抽样定理 即奈奎斯特准则 fs 2fh其中fs为抽样频率 fh为信号最高频率 但此条件只规定出fs的下限为fh 其上限要受抽样间隔F的约束 抽样间隔F即频率分辨力 它是记录长度的倒数 即Tp 1 F若抽样点数为N 则抽样间隔与fs的关系为F fs N 2fh N 混叠现象的结论 由F fs N 2fh N看出 在N给定时 为避免混叠失真而一味提高抽样频率fs 必然导致F增加 即频率分辨力下降 反之 若要提高频率分辨力即减小F 则导致减小fs 最终必须减小信号的高频容量 以上两点结论都是在记录长度内抽样点数N给定的条件下得到的 所以在高频容量fh与频率分辨力F参数中 保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法 就是增加记录长度内的点数N 即fh和F都给定时 则N必须满足N 2fh F这是未采用任何特殊数据处理 例如加窗 情况下 为实现基本DFT算法所必须满足条件 2 频谱泄漏注意点 由于我们无法取无数个点 所以在DFT时 时域的截断是必然的 因而泄漏也是必然存在的 为了减少频率泄漏可采用 1 适当加大窗口宽度 增加M值 2 采用适当形状的窗函数截断指出 泄漏是不能与混叠完全分开的 3 减小栅栏效应方法 减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点 使一个周期内点数增加 但是不改变原有的记录数据 这种方法等效于加长了周期Tp 因公式F 1 Tp F是抽样间隔 Tp增加 抽样间隔变小 从而能保持原来频谱形式不变的情况下使谱线变密 也就使频谱抽样点数增加 这样 原来看不到的频谱分量就有可能看到了 序列的傅立叶变换和性质 教材78页 表2 3 x n 的傅立叶变换定义如下 可见还是w的周期函数 周期为 比较后可见 序列的