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第四节 一 多元复合函数求导的链式法则 二 多元复合函数的全微分 多元复合函数的求导法则 第八章 一元复合函数 求导法则 微分法则 定理1 在对应点 u v 可微 在点t可导 则复合函数 证 则相应中间变量 且有链法则 见右边的树图 有增量 u v 由于f可微 所以 上式两端同时除以 t 得到 一 多元复合函数求导的链式法则 若函数 设 t为t的增量 导数 t 0时 根式前加 号 为了与偏导数区别 称为全 全导数还可以写成 若定理中 注 如 易知 但不可微 验证 此时复合函数 可微减弱为偏导数存在 则定理结论不一定成立 推广 1 中间变量多于两个的情形 设下面所涉及的函数都可微 例如 定理2 设 则 偏导数都存在 例1 设 其中 求 解 代入 解法二 所以 先代入 变成一元函数的求导 因为 解法一 例2 解 设 例3 的偏导数 解 有了多元函数的链法则 就不需要用对数求导法了 由 复合而成 于是 同理可得 求 这是一个幂指函数 例4 设 求全导数 解 注意 验证解的问题中经常遇到 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 求导口诀 分段用乘 分叉用加 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 求复合函数 的偏导数 例5 都具备可微 条件 解 注 有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况 这时要 注意防止记号的混淆 如左图 有 在应用链法则时 设 如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里 表示复合函数f x x t 固定t对x求导 表示f x y 固定y对x求导 与 不同 例6 设 都有一阶 求 连续偏导数 解 代入中间变量 得到复合函数 为简便起见 引入记号 例7 f具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 设 二 一阶全微分形式不变性 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做一阶全微分形式不变性 利用这个性质 容易证明 无论u v是自变量还是 中间变量 用链法则求复合函数偏导数时 和中间变量 有了一阶全微分形式不变性 考虑这种区别 使计算变得方便 可以不再 首先要分清自变量 都有下面的微分法则 例8 的全微分和偏导数 解 求 则 所以 设 例9 都可微 求dz 解 设 利用一阶全微分形式不变性 有 例10 已知 求 解 两边求微分 得 又因为 所以
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