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文档简介

一 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数 先求收敛半径R 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 例题 求下列级数的敛散区间 练习 解 当 因此级数在端点发散 时 时原级数收敛 故收敛区间为 解 因 故收敛区间为 级数收敛 一般项 不趋于0 级数发散 例2 解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 原级数 其收敛半径 注意 求部分和式极限 二 幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 直接求和 直接变换 间接求和 转化成幂级数求和 再代值 求部分和等 初等变换法 分解 套用公式 在收敛区间内 数项级数求和 例3 求幂级数 法1易求出级数的收敛域为 法2 先求出收敛区间 则 设和函数为 练习 解 1 显然x 0时上式也正确 故和函数为 而在 x 0 例题 求下列幂级数的和函数 级数发散 2 显然x 0时 和为0 根据和函数的连续性 有 x 1时 级数也收敛 即得 三 函数的幂级数和傅里叶级数展开法 直接展开法 间接展开法 1 将函数 展开成x的幂级数 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解 1 函数的幂级数展开法 2 设 将f x 展开成 x的幂级数 的和 解 于是 并求级数 2 函数的傅里叶级数展开法 系数公式及计算技巧 收敛定理 延拓方法 练习 上的表达式为 将其展为傅里叶级数 例题 设f x 是周期为2 的函数 它在 解答提示 思考 如
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