天利38套2020原创能力提升卷第二批数理答案.pdf

书书书 数学 理科 答 高考命题规律与题 能力提升卷 答 案 详 解 能力提升卷 四 答案 命题意图 本题考查集合的基本运算 考查运算求解 能力 考查数学运算核心素养 解题分析 解得 又解得 故 选 答案 命题意图 本题考查复数的运算 考查运算求解能 力 考查数学运算核心素养 解题分析 故选 答案 命题意图 本题考查全称命题 特称命题 常用逻辑 用语 考查运算求解能力和推理论证能力 考查数学 运算和逻辑推理核心素养 解题分析 因为 槡 所 以 不正确 因为当 时 所以 不正确 因 为 所 以 不 正 确 因 为 所以 正确 故选 答案 命题意图 本题考查正态分布 考查运算求解能力和 应用意识 考查数据分析核心素养 解题分析 且 因此 故选 答案 命题意图 本题考查数列的概念 通项公式及其性 质 考查运算求解能力和推理论证能力 考查数学运 算核心素养 解题分析 由于数列 是等差数列且 设 等差数列 的公差为 故 解得 故 为单调递增数列 故 所以 的最小值为 故选 答案 命题意图 本题考查简单的线性规划问题 考查运算 求解能力和应用意识 考查数学运算和数学建模核心 素养 解题分析 由题知 平面区域如图中阴影部分 含边 界 所示 槡 表示平面区域内的点到原点 的距离 由图知平面区域内的点 到原点的 距离最大 所以 槡 槡 故选 答案 命题意图 本题考查算法与程序框图 考查运算求解 能力和推理论证能力 考查数学运算和逻辑推理核心 素养 解题分析 运行程序 可知输出的 故选 答案 命题意图 本题考查空间几何体的三视图和直观图 考查空间想象能力 考查直观想象和数学建模核心 素养 解题分析 该多面体的直观图如图所示 槡 故选 答案 数学 理科 答 命题意图 本题考查二项式定理 考查运算求解能 力 考查数学运算核心素养 解题分析 因为 的二项展开式的通项为 故展 开式中常数项为 故 选 答案 命题意图 本题考查三角函数图象的变换与性质 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 先将函数图象上所有点的横坐标伸长到 原来的 倍 得 再将图象上所有点 向左 平 移 个 单 位 长 度 得 的图象 易求其周 期为 故 错 因为 即 所以 在 上单调 递增 因为 即 所以 在 上单调递减 故 错 因为 即 所以 是 的对称中 心 所以 不是 的对称中心 故 错 即 所以 是 的对称 轴 故选 答案 命题意图 本题考查函数的图象 分段函数 导数 斜率问题 考查运算求解能力 推理论证能力 考查 逻辑推理和数学运算核心素养 解题分析 当直线 与曲线 相切时 设切点为 则切线斜率 所以 即 解得 又当 时 所以 当 时 有 个 实 根 此 时 有 个实根 不满足题意 当 时 有 个实根 此时 有 个实根 满 足 题意 当 时 无 实 根 此 时 最多有 个实根 不满足 题意 综上得 故选 答案 命题意图 本题考查数列的通项公式与单调性 考 查抽象概括能力 运算求解能力 推理论证能力 考 查数学抽象和逻辑推理核心素养 解题分析 由 得 即 所以数列 是以 为首 项 为公比的等比数列 所以 所以 因为数列 是 单调 递 增 数 列 所 以 当 时 由 得 解得 当 时 由 得 解得 故 故选 答案 槡 命题意图 本题考查椭圆的离心率 考查逻辑推理 和数学运算核心素养 解题分析 设 代入椭圆方程有 即 解得 即 又 槡 即 槡 槡 整理得 槡 槡 即 槡 槡 解得 槡 或 舍去 故椭圆的离心率 槡 答案 槡 命题意图 本题考查四面体的外接球 考查直观想 象和数学运算核心素养 解题分析 由已知得 槡 取 的中点 则 为 的外心 取 的中点 则 为 的外心 过 分别作平面 和平 面 的垂线交于点 则 为该三棱锥外接球的 球心 连接 则 槡 且 即为二 面角 的平面角 所以 又 因 为 平 面 所 以 在 中 槡 槡 所 以 外 接 球 半 径 槡 槡 槡 槡 所以三棱锥外接球的体积为 槡 数学 理科 答 答案 命题意图 本题考查函数的基本性质 考查抽象概 括能力和运算求解能力 考查数学抽象和数学运算 核心素养 解题分析 因为函数 为偶函数 所以函 数 的图象关于直线 对称 又因为当 时 所 以 函 数 在 上单调递增 在 上 单调递减 所以 即 答案 或 命题意图 本题考查函数的图象及导数的应用 考 查抽象概括能力和运算求解能力 考查数学抽象和 数学运算核心素养 解题分析 设直线 与曲线 相切于 点 直线 与 相切于 则 有 所以 因为 代入上式消去 得 整理得 令 则 解得 或 即 或 当 时 解得点 此时 当 解得点 此时 故 或 命题意图 本题考查三角函数的化简 正弦定理 余 弦定理 考 查 运 算 求 解 能 力 考 查 数 学 运 算 核 心 素养 名师指导 由正 余弦定理转化边角关系即可 求解 由外接圆半径和正弦定理可以先求出边 再利用余弦定理及基本不等式化简即可 解题分析 因为 由余弦定理得 分 所以 由正弦定理得 分 因为 所以 又因为 所以 分 因为 所以 槡 分 由余弦定理可得 分 解得 又 故 分 解得 槡 综上所述 槡 分 命题意图 本题考查直线与平面平行的判定及其性 质 二面角 考查推理论证能力和空间想象能力 考 查直观想象和逻辑推理核心素养 名师指导 通过作两条辅助线证面面平行从而 推出线面平行 建立空间直角坐标系 通过法向 量的夹角公式求二面角 解题分析 证 明 取 的 中 点 为 连 接 由已知得 为等边三角形 分 又 平面 平面 平面 为 的中点 为 的中点 又 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 分 如图 连接 交 于点 连接 则 为 的中点 且 为等腰三角形 且 平面 平面 平面 且 和 全等 数学 理科 答 以 为坐标原点 的方向为 轴正方向 的方 向为 轴正方向 的方向为 轴正方向 建立如 图所示的空间直角坐标系 则 槡 由题知平面 的一个法向量为 分 设平面 的法向量为 则 槡 槡 槡 槡 令 槡 得 槡 分 槡 槡 分 设二面角 的大小为 由于二面角 为锐二面角 则 槡 分 命题意图 本题考查二项分布 超几何分布 考查抽 象概括能力 推理论证能力 数据处理能力和应用意 识 创新意识 考查数学抽象 数学建模 数据分析核 心素养 名师指导 求出二项分布的分布列 求出数学 期望即可 由 知一个同学获积分的概率 独 立重复性试验计算即可 求出超几何分布的分布 列 再求出期望 将所求结果和 的结果对比即可 解题分析 由题意可知 一次摸卡摸中红色卡 片的概率为 设获得积分数为随机变量 的可能取值有 分 分 则 的分布列为 所以 分 由 知一个同学获积分为 的概率为 分 设两个同学玩这个游戏恰有一个同学获得积分为 是事件 则 故两个同学玩这个游戏恰有一个同学获得积分为 的概率是 分 设获得积分数为随机变量 的可能取值有 此时有 分 则 的分布列为 所以 分 因为 所以第一种游戏方式能获得更多积分 分 命题意图 本题考查椭圆的标准方程 直线与圆锥 曲线的位置关系 考查抽象概括能力和运算求解能 力 考查数学抽象和数学运算核心素养 名师指导 已知焦点坐标 由椭圆的定义可求 进而求椭圆方程 设点 的坐标和直线 的方程 将条件转化为代数式 将直线方程代入 椭圆方程中 用韦达定理将代数式消元求解 解题分析 由条件知椭圆半焦距 由椭圆的定义知 槡 即 槡 则 槡 因此椭圆 的方程为 分 数学 理科 答 证 明 设 点 的 坐 标 分 别 为 点 的坐标为 槡 设直线 的方程为 由 槡 槡 可得 槡 槡 整理得 槡 分 联立 得 由 得 分 因此 槡 整理得 槡 解得 槡 或 槡 分 当 槡 时 直线 的方程为 槡 过 定点 槡 不符合题意 当 槡 时 直线 的方程 槡 过定点 槡 综上所述 直线 过定点 槡 分 命题意图 本题考查函数的单调性 零点与导数 考 查抽象概括能力 推理论证能力和运算求解能力 考 查数学抽象 逻辑推理和数学运算核心素养 名师指导 通过求导 由导函数的正负讨论函 数的单调性 由零点得两个方程并整理化简 利 用换元法证恒成立问题 解题分析 函数 的定义域为 分 分 当 时 恒成立 故 在 上单调递增 当 时 令 解得 故 在 上单调递减 令 解得 故 在 上单调递增 综上所述 当 时 在 上单调递增 当 时 在 上 单 调 递 减 在 上单调递增 分 证明 由 为函数 的两个零点 得 且 两式相减 可得 分 即 因此 分 令 由 得 则 分 要证 即证 构造函数 则 分 函数 在 上单调递增 故 即 分 命题意图 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的 互化 参数方程和普通方程的互化 极坐标的几何意 义 考查运算求解能力和抽象概括能力 考查数学运 算和数学抽象核心素养 名师指导 将 的参数方程先转化为普通方 程 再化为极坐标方程 利用极坐标的几何意义 求解即可 解题分析 由题意可得曲线 的普通方程为 分 因为 所以 的极坐标方程为 分 直线 的极坐标方程为 设 且 均为正数 将 代入 得 解得 所以 分 根据极坐标的几何意义 得 槡 槡 圆心 到 的距离 槡 从而 槡 分 令 则 槡 数学 理科 答 当 即 或 时 面积的最大 值为 分 命题意图 本题考查绝对值不等式 考查抽象概括 能力 运算求解能力 考查数学抽象和数学运算核心 素养 名师指导 去 绝 对 值 分 段 讨 论 即 可 求 解 将不等式转化为恒成立问题 整理转化为解绝 对值不等式即可 解题分析 当 时 分 由 得 或 所以不等式的解集为 或 分 的解集包含 即为 在 上恒成立 因为 所以 分 故 即为 即 所以 分 又因为 所以 则 分 能力提升卷 五 答案 命题意图 本题考查集合的基本运算 含绝对值不等 式的解法 考查数学运算核心素养 解题分析 集合 则 故选 答案 命题意图 本题考查复数的运算 考查数学运算核心 素养 解题分析 则 的虚部为 故选 答案 命题意图 本题考查数列的通项公式 考查数学运算 核心素养 解题分析 当 或 时 故选 答案 命题意图 本题考查双曲线的定义 三角形的面积公 式 考查数学建模核心素养 解题分析 槡 槡 又 槡 则双曲线的离心率 槡 槡 故选 答案 命题意图 本题考查三角函数的图象和性质 考查运 算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 它的相邻两条 对称轴的距离是 的最小正周期 又 在 处取得最值 则 又 则 所 以 根据函数的解析式很容易排除 选项和 选项 令 则 当 时 故选 数学 理科 答 答案 命题意图 本题考查算法流程图 数列的递推公式 周期数列 考查数学运算核心素养 解题分析 由算法流程图可知 初始化条件 第一次循环 第二次循环 第三次循环 所以 周 期 为 当 时 输 出 故选 答案 命题意图 本题考查函数与导数的综合应用 考查函 数与方程思想 考查数学运算核心素养 解题分析 解法一 解得 因为 所以图象与 轴交 点的个数是 故选 解法二 作出函数 的图象 如图所示 观察图象与 轴交 点的个数是 故选 解法三 所以图象与 轴交点的个 数是 故选 答案 命题意图 本题考查平面向量的线性运算 平面向量 数量积公式的应用 考查数学建模核心素养 解题分析 故选 一题 多 解 以 为 坐 标 原 点 所 在 的 直 线 为 轴 过点 垂直 的直线为 轴 建立平面直角 坐标系 如图所示 过点 作 垂足 为 槡 槡 又 槡 过点 作 轴 垂足为 点 为 的中点 槡 即点 的坐标为 槡 槡 槡 槡 故选 答案 命题意图 本题考查空间几何体的三视图 空间几何 体体积的计算 考查空间想象能力 考查数学建模 直 观想象的核心素养 解题分析 画出几何体的直观图 可知该几何体是正 方体的一部分 即三棱锥 如图所示 所 以该几何体的体积为 故选 方法技巧 空间几何体的三视图是分别从空间几何 体的正面 左面 上面用平行投影的方法得到的三个 平面投影图 因此在分析空间几何体的三视图时 先 根据俯视图确定几何体的底面 然后根据正视图或 侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 调整实线 和虚线所对应的棱 面的位置 再确定几何体的形状 即可得到结果 答案 命题意图 本题考查简单的线性规划问题 考查化 归与转化思想 数形结合思想 考查数学建模核心 素养 解题分析 在平面直角坐标系中 作出不等式组表 示的可行域 如图中阴影部分所示 含边界 联立 得 联 立 数学 理科 答 得 表示过可行域内的点 与 定点 连线所在直线的斜率 则 或 所以 的取 值范围是 故选 答案 命题意图 本题考查抛物线 椭圆的定义和均值不 等式 考查运算求解能力 考查数学建模的核心素养 解题分析 由椭圆方程 可知 则 槡 由 槡 得 则 槡 槡 槡 当且仅当 时 等号成立 又 直线 的倾斜 角为 设直线 方程为 槡 与椭圆 联立 整理得 槡 槡 槡 槡 槡 故选 答案 命题意图 本题考查分段函数 函数的导数 存在性 问题 恒成立问题 考查分类与整合的数学思想 考 查数学抽象 逻辑推理 数学运算的核心素养 解题分析 对 使得 成 立 等 价 于 对 于 函 数 当 时 在 上单调递 增 此时 当 时 令 解得 当 时 此时 在区间上 单调递减 当 时 此时 在区间上单调递增 此时 故 在 定 义 域 上 又 则 对于函数 当 时 在 上的最小值为 此时有 解得 当 时 在 上 的 最 小 值 为 此 时 有 解得 综上所述 的 取值范围为 故选 答案 命题意图 本题考查利用定积分求曲边梯形的面 积 考查数形结合的思想 考查数学建模的核心素养 解题分析 联立方程 和 得槡 或 舍去 如图所示 所求封闭图形 面积 答案 命题意图 本题考查排列组合 考查数据分析的核 心素养 解题分析 该命题小组中来自 卷考区的教师至少 有 名教师 则来自 卷考区的教师有 名 名 名 共 类 情 况 故 选 派 方 法 有 种 数学 理科 答 答案 命题意图 本题考查数列的通项公式的求法 裂项 相消法求数列 的前 项 和 考 查数 学 运 算的 核 心 素养 解题分析 当 时 当 时 解得 所以 的 最小值是 答案 槡 命题意图 本题考查空间几何体外接球的体积 考 查化归与转化的思想 考查直观想象的核心素养 解题分析 如图 过点 作 垂足为点 连接 为等边三角形 点 为 的 中点 为等腰直角三角形 槡 又 平面 三棱锥 的外接 球球心为 的中心 槡 三棱锥 外接球的体积为 槡 槡 命题意图 本题考查平面向量数量积的运算 正弦 定理 余弦定理 三角形的面积公式 考查运算求解 能力 考查数学运算的核心素养 名师指导 根据两个向量模相等和特殊角的三 角函数值 求出角 的大小 运用三角形的面 积公式和正 余弦定理 进而求出 的值 解题分析 由 槡 得 槡 槡 槡 则 分 由题意可知 槡 槡 得 分 槡 槡 因为 所以 分 由 槡 槡 得 槡 槡 解得 分 由余弦定理得 槡 槡 槡 解得 分 命题意图 本题考查独立性检验 列联表 二 项分布 考查运算求解能力 考查数学运算和数据分 析的核心素养 名师指导 结合已知条件完成 列联表 利 用 计算出结果对 照观测值进行比较判断 由 中的数据 求出 的值 列出 的分布列进而求出数学期望 解题分析 由已知条件可得 列联表如下 月收入超过 欧元 月收入不超过 欧元 合计 现场观看 网络直播 合计 分 结合列联表可算得 分 因为 所以有 的把握认为 足球爱好者的月收入与到现场观看比赛有关 分 由题可知 分 的取值可能为 分 数学 理科 答 所以 的分布列为 分 故 分 命题意图 本题考查空间直线与直线垂直 线面垂 直 二面角的平面角知识 考查数形结合思想 化归 与转化思想 考查逻辑推理和数学建模核心素养 名师指导 将证明直线与直线垂直转化为一条 直线与另外一条直线所在的平面垂直 建立空 间直角坐标系 利用空间向量的夹角公式即可求得 所求二面角的余弦值 解题分析 证明 连接 在四边形 中 平面 平面 平面 又 平面 分 又 在 中 为 的中点 平面 分 又 平面 分 以 为坐标原点 分别以 所在直 线为 轴建立如图所示空间直角坐标系 则 由 可知 平面 为平面 的一个法向量 分 设 为平面 的一个法向量 分 令 则 分 设向量 与 所成的角为 槡 槡 槡 分 由图形知 二面角 为锐二面角 故它的 余弦值为槡 分 方法技巧 立体几何是高中数学中的重要知识点 也是高考重点考查的内容和考点 这类问题的设置 一般有两类问题 其一是线面的位置关系的推证 其 二是角度距离以及几何体的体积面积的计算 本题 第一问考查直线与直线垂直 是利用一条直线垂直 另一条直线所在平面进而证出直线与直线垂直 第 二问求二面角的平面角 转化为求两个平面法向量 的夹角的余弦值 命题意图 本题考查曲线与方程 直线与圆锥曲线 的位置关系 三角形的面积公式 考查数形结合思 想 化归与转化的思想 考查逻辑推理 数学建模核 心素养 名师指导 利用已知条件结合椭圆的定义可 知 点的轨迹是以 为焦点 为长轴长的椭 圆 即可求出椭圆的方程 根据条件求出点 的坐标 并将直线 的方程与 中求出的椭圆方 程联立 结合三 角 形 的 面积 公 式 即 可 求 出 直线 的 方程 解题分析 如图 连接 的垂直平分线和半径 相交于点 其中 为圆的半径 分 根据椭圆 的 定 义 点 的 轨 迹 是 以 为 焦 点 为长轴长的椭圆 定点 槡 槡 槡 椭圆的方程是 分 由题意可知 直线 的斜率不为 数学 理科 答 设直线 的方程为 曲线 与 轴正半轴交点坐标为 点坐标为 分 将直线 的方程 代入椭圆的方程 整理得 分 解得 分 分 槡 槡 槡 槡 分 令 则 槡 槡 两边同时平方 得 即 解得 或 分 或 槡 或 槡 因此直线 的方程为 槡 或 槡 分 命题意图 本题考查函数的单调性 零点存在性定 理 导数的应用 考查分类与整合思想 化归与转化 思想 考查数学抽象 逻辑推理的核心素养 名师指导 求出 的导数 然后分 两种情况 讨论 与 的大小关系 从而求得 函数 的单调性 对 进行等价转化 有零点等价于方程 有实数根 分离参数得 利用换元转化成 构造 函数 讨论 的单调性 结合 的图 象 对 进行分类讨论 即可得到 零点的个数 解题分析 的定义域为 分 当 时 时 时 此时 在 上单调递减 在 上单调递增 分 当 时 令 解得 当 时 时 时 此时 在 和 上单调递增 在 上单调递减 当 时 时 时 此时 在 和 上单调递增 在 上单调递减 分 当 时 此时 在 上单调递增 分 当 时 有零 点等价于方程 有实数根 令 则原方程转化为 令 分 令 当 时 当 时 由图象可知 当 时 有 个零点 即 有 个零点 分 当 时 有 个零点 即 有 个 零点 分 当 时 有 个 零 点 即 有 个 数学 理科 答 零点 分 当 时 此 时 无 零 点 即 此 时 无 零点 分 命题意图 本题考查参数方程与普通方程 极坐标 中的点与直角坐标中的点之间的转化 直线参数方 程中参数的几何意义 点到直线的距离公式 考查化 归与转化思想 考查数学运算核心素养 名师指导 消去参数 将参数方程化成普通方程 极坐标化成直角坐标 直线 经过定点 设 直线 的倾斜角为 设出直线 的参数方程 将直 线 的参数方程中的 代入曲线 的普通方程 利用参数 的几何意义和 的长度 即可求出直 线 倾斜角 的度数 就是到直线 的方程 再利用 点到直线的距离公式即可求解 解题分析 由 槡 为 参 数 可 得 槡 则曲线 的普通方程为 分 点 的极坐标为 槡 由 槡 槡 得点 的直角坐标为 分 直线 经过点 设倾斜角为 则直线 的参数方程为 为参数 将直线 的参数方程代入 整理得 分 设 两点对应的参数分别为 则 由 的几何意义可知 槡 槡 槡 分 即 则 则 槡 或 分 直线 的方程为 或 分 设点 到直线 和 的 距离分别为 槡 槡 槡 槡 点 到直线 的距离为槡 或槡 分 命题意图 本题考查含绝对值不等式的解法 绝对 值三角不等式 一元二次不等式的解法 考查运算求 解能力 数形结合思想 考查数学运算 数学建模的 核心素养 名师指导 利用 公式 求出 的最大值 根据 恒成立 转化成 解关于 的一元二次不等式 有两个实数解可以转化为 与 的图 象有两个交点 再利用数形结合 求出实数 的取值 范围 解题分析 分 则 恒成立 即 解得 或 分 分 令 得 与 轴的交点为 分 如图可知 时 与 的图象有两个 交点 所以 有两个实数解时 的取值范 围是 分 能力提升卷 六 答案 命题意图 本题考查复数的运算 考查运算求解能 数学 理科 答 力 考查数学运算核心素养 解题分析 为纯虚数 槡 故选 一题多解 由题意可知 令 则 且 槡 故选 答案 命题意图 本题考查集合的运算及一元二次不等式 的解法 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 即 解得 故选 答案 命题意图 本题考查双曲线的方程 考查运算求解能 力 考查数学运算核心素养 解题分析 设双曲线 的半焦距为 由题意可得 解得 槡 槡 双曲线 的方 程 为 故选 答案 命题意图 本题考查等差数列的通项公式 等差数列 前 项和 考查 运 算 求 解 能 力 考查 数 学 运算 核 心 素养 解题分析 解 法 一 由 得 故选 解法二 数列 为 等差数列 前 项和为 则 仍成等差数列 令 则 也成等差数列 解得 故选 解法三 令 则 解 得 故选 答案 命题意图 本题考查函数的单调性及存在性命题的 相关不等式的运算 考查运算求解能力 考查数学运 算核心素养 解题分析 由题意可知 使得 成立 成立 故选 答案 命题意图 本题考查几何体的三视图 棱锥的表面积 公式 考查运算求解能力 考查数学建模和数学运算 核心素养 解题分析 把几何体放到棱长为 的正方体中 得到 如图所示的四棱锥 显然 槡 槡 槡 四边形 槡 四棱锥的 表面积为 槡 故选 答案 命题意图 本题考查程序框图 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 阅读并执行程序得 不成立 不成立 不成立 成立 输出 故选 答案 命题意图 本题考查向量的基本运算及二次函数的 性质 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 由题意知 三点共线 故选 答案 命题意图 本题考查线性规划 考查运算求解能力 考查直观想象 数学运算核心素养 解题分析 由题意作出平面区域如图中阴影部分 含 边界 所 示 槡 槡 则 表示点 到点 的距离 如图所示 作 垂 足 为 为 最 小 值 且 槡 槡 为最大值且 槡 槡 故 而 数学 理科 答 槡 槡 故选 答案 命题意图 本题考查数学文化 几何概型 考查运算 求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 令 则 槡 阴影部分的 面积为 槡 槡 槡 半圆 与阴影部分面积之和为 槡 令事件 表示 在两个半圆内任取一点 则该点恰好取自阴影部分 则 故选 答案 命题意图 本题考查三角函数的图象与性质 考查 运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 根 据 函 数 图 象 可 知 槡 槡 又 由五点作图法可知 解得 选项 错误 当 时 选项 正 确 对称 中心为 选项 错误 选项 错误 故 选 答案 命题意图 本题考查利用导数求解参数范围问题的 运算 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 由题意可知 若 都有 从 而问题就转化为分别求两个函数的最小值 显然 当 时 在 上单调递增 当 时 在 上单调递增 显 然此时 不符合题意 当 时 当 即 时 在 上单调 递减 当 即 时 在 上单调 递减 在 上 单 调 递 增 与 矛盾 不符合题意 综上所述 故选 答案 命题意图 本题考查利用二项式定理求解展开式项 的系数 考 查 运 算 求 解 能 力 考 查 数 学 运 算 核 心 素养 解题分析 展 开 式 的 通 项 为 所求 的系数为 一题多解 展 开 式 的 通 项 为 展开式的通项为 所求 的系数为 答案 命题意图 本题考查数列递推公式及前 项和的求 法 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 解题分析 由题意可知 当 时 当 时 当 时 答案 命题意图 本题考查锥体外接球的知识 余弦定理 数学 理科 答 及三棱锥外接球体积的运算 考查运算求解能力 考 查直观想象 数学运算核心素养 解题分析 如图 在 和 中 由余弦定理 可 得 同 理 槡 是 以 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 同 理 也是以 为斜边的直角三角形 为 三棱锥 外接球的直径 该三棱锥外接球 的体积为 答案 命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系及三 角形面积的运算 考查运算求解能力 考查直观想 象 数学运算核心素养 解题分析 由题意可知 直线 的方程为 设 点 到 直 线 的 距 离 为 则 槡 槡 槡 又 槡 槡 槡 此时点 的坐 标为 直线 的方程为 直线 的方程为 点的坐标为 一题多解 由题意可知直线 的斜率为 使得 的切线的斜率为 的点 到直线 的距 离最大 此时 的面积最大 则 点 的坐标为 直线 的方程为 直线 的方程为 点 的坐标为 命题意图 本题考查解三角形 正余弦定理的应用 以及平面向量的相关计算 考查运算求解能力 考查 数学运算核心素养 名师指导 由已知条件化简 即可求出最 小正周期和单调递减区间 先 由 正 弦 定 理 将 转换成角 并利用内角和为 来化简 求出 其最值后再求出 和 的值 从而求出满足条件的 三角形面积 解题分析 由题意可得 槡 槡 槡 槡槡 槡 槡 槡 最小正周期 的 最 小 正 周 期 为 单 调 递 减 区 间 为 分 槡槡 分 由正弦定理得 槡 槡 槡 槡 槡 分 当且仅当 即 槡 槡 时 取到最大值槡 此时 槡 槡 槡 分 数学 理科 答 此时 的面积 槡 槡 槡 槡 分 命题意图 本题考查线线垂直 线面垂直 二面角的 运算 考查运算求解能力 考查直观想象和数学运算 核心素养 名师指导 首先利用已知条件先证明 然后利用已知条件结合勾股定理证明 从而得出结论 建立空间直角坐标系 令 求 出 点 坐标 槡槡 然后利用已知二面角的余弦值求出 的值 从而得解 解题分析 证明 槡 点 为 的中点 且 槡 分 又 槡 分 又 平面 分 由 可知 两两垂直 故建立如图所示空间直角坐标系 则 槡 槡 槡 令 则 槡槡 分 槡槡 槡 槡 槡 槡 设平面 的法向量 则 槡槡 槡 槡 槡 槡 取 槡 则 槡 槡 分 设平面 的法向量 则 槡 槡 槡 槡 取 则 槡 槡 分 槡 槡 由题意可知 槡 槡 槡 化简得 分 命题意图 本题考查茎叶图 相互独立事件概率的 求法 超几何分布的分布列及期望 考查推理论证能 力 运算求解能力 名师指导 利 用 已 知 条 件 即 可 得 出 结 果 首先判断随机变量的取值 然后再利用超几何 分布去计算相应概率 列出分布列并求出期望 解题分析 由题意可知 在抽取的 人中 测 试成绩优秀的有 人 测试成绩良好的有 人 测试 成绩一般的有 人 分 设 从该校高中学生中任选 人进行测试 至少有 一人 一般 为事件 分 则 分 从该校高 中学 生 中 任 选 人 进行 测 试 至 少有 一人 一般 的概率为 分 的可能取值为 分 则 分 的分布列为