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第二篇专题六第3讲 圆锥曲线的综合应用限时训练素能提升(限时50分钟，满分48分)解答题(本题共4小题，每小题12分，共48分)1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解析(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4.即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0.因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差解析(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0，解得k0或0kb0)的离心率为，直线4x3y50与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；若O为坐标原点，求的取值范围解析(1)由题意可得离心率e，又直线4x3y50与圆x2y2b2相切，所以b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆C的标准方程为x21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知A(0，)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以1，即有x1x2y1y2(y1y2)3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：ykxt(k0)，代入椭圆方程，消去y可得(3k2)x22ktxt230，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t2t，y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2k2ktt2，所以3，化简得t23t60，解得t2(舍去)，则直线MN的方程为ykx2，即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，2)由可得x1x2y1y2，由(3k2)x22ktxt230，可得4k2t24(t23)(3k2)48k
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