北师大版选修4_52020学年高中数学第二章几何重要的不等式单元测试卷

第二章几何重要的不等式单元测试卷时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是()A.2成立当且仅当a，b均为正数Babc3成立当且仅当a，b，c均为正数Clogablogbclogca3成立当且仅当a，b，c(1，)D|a|2成立当且仅当a0答案D解析当a2，b1时，2成立，但a，b不是正数，故A错当abc1时，abc3，但a，b，c不是正数，于是B错当abc时，logablogbclogca3成立，但a，b，c均不属于(1，)故C错故选D.2设a，bR，且a2b210，则3ab的最大值为()A10B10C5 D5答案B解析由柯西不等式，得(a2b2)(3212)(3ab)2.1010(3ab)2，103ab10.故选B.3设xyz1，则2x23y2z2的最小值为()A. B.C. D.答案D4已知a，b，x1，x2R，ab1，x1x22，则M(ax1bx2)(bx1ax2)与4的大小关系是()AM4 BM4CM4 DM4答案C5设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的大小关系是()AE，0，ABC0，A3ABC64，A4.7若命题A(n)(nN)在nk(kN)时成立，则有nk1时命题也成立现知命题对nn0(n0N)时成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确答案C8函数y(x(0，)的最小值是()A20 B25C27 D18答案B9满足122334n(n1)3n23n2的自然数n()A1 B1或2C1，2，3 D1，2，3，4答案C10从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是()Af(n)f(n1)f(n2)(n3)Bf(n)2f(n1)(n2)Cf(n)2f(n1)1(n2)Df(n)f(n1)f(n2)(n3)答案A11已知数列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()Aa4k1能被4整除 Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除 Da4k4能被4整除答案D12已知n为正偶数，用数学归纳法证明：12()时，若已假设nk(k2且为偶数)时，等式成立，则还需要利用归纳假设再证()Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上)13函数y34的最大值为_答案1014已知0x1，0y0，y0，且xy2，求的最小值解析因为xy2，根据柯西不等式，有(2x)(2y)()()2()2()2()2()2(xy)24，所以2.当且仅当，即xy1时，等号成立所以当xy1时，有最小值2.20(本题满分12分)123234n(n1)(n2)(nN)证明(1)当n1时，左边1236，右边6左边，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即123234k(k1)(k2).则当nk1时，左边123234k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(1).所以由nk1时，等式成立由(1)、(2)可知，原不等式对于任意nN都成立21(本题满分12分)已知正项数列an和bn中，a1a(0a1)，b11a.当n2时，anan1bn，bn.(1)证明：对任意nN，有anbn1；(2)求数列an的通项公式解析(1)用数学归纳法证明当n1时，a1b1a(1a)1，命题成立；假设nk(k1)时命题成立，即akbk1，则当nk1时，ak1bk1akbk1bk1(ak1)bk1(ak1)1.所以当nk1时，命题也成立由可知，anbn1对nN恒成立(2)因为an1anbn1，所以1，即1.数列是公差为1的等差数列，其首项为，(n1)1，从而an(0a1)22(本题满分12分)在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.解析(1)由条件得2bnanan1，an12bnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(k1)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.