概率论与数理统计 第六章第6节

四 正态总体均值与方差的区间估计 单个总体的情况两个总体的情况 一 单个总体的情况 并设为来自总体的 样本 分别为样本均值和样本方差 均值的置信区间 为已知 可得到的置信水平为的置信区间为 为未知 可得到的置信水平为的置信区间为 此分布不依赖于任何未知参数 由 例1有一大批糖果 现从中随机地取16袋 称得重量 以克计 如下 506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布 试求总体均值的置信水平0 95的置信区间 解 这里 于是得到的置信水平为的置信区间为 即 方差的置信区间 由 可得到的置信水平为的置信区间为 可得到标准差的置信水平为的置信区间为 注 如果总体X的数学期望 0已知 样本X1 X2 Xn 选取样本函数 因此置信度为1 的 2置信区间可为 例2有一大批糖果 现从中随机地取16袋 称得重量 以克计 如下 506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布 试求总体方差的置信水平0 95的置信区间 解 这里 于是得到的置信水平为的置信区间为 即 的置信水平为的置信区间为 二 两个总体的情况 两个总体均值差的置信区间 为已知 故 或 于是得到的置信水平为的置信区间为 为未知 其中 于是得到的置信水平为的置信区间为 3 4 12 22未知 且n1 n2较大 如大于50 由于n1 n2较大 12 S12 22 S22 仿 1 选取 因此置信度为1 的 1 2置信区间可为 例3为比较I 两种型号步枪子弹的枪口速度 随机地取I型子弹10发 得到枪口速度的平均值为标准差随机地取 型子弹20发 得到枪口速度的平均值为标准差假设两总体都可认为近似地服从正态分布 且生产过程可认为方差相等 求两总体均值差的置信水平为0 95的置信区间 解 依题意 可认为分别来自两总体的样本是相互独立的 又因为由假设两总体的方差相等 但数值未知 故两总体均值差的置信水平为的置信区间为 其中 这里 故两总体均值差的置信水平为0 95的置信区间为 即 3 07 4 93 两个总体方差比的置信区间 为已知 由 即 可得到的置信水平为的置信区间为 例4研究由机器A和机器B生产的钢管的内径 随机地抽取机器A生产的钢管18只 测得样本方差随机地取机器B生产的钢管13只 测得样本方差设两样本相互独立 且设由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布这里 i 1 2 均未知 试求方差比的置信水平为0 90的置信区间 这里 即 0 45 2 79 解 故两总体方差比的置信水平为0 90的置信区间为 课堂练习 5 某单位要估计平均每天职工的总医疗费 观察了30天 其总金额的平均值是170元 标准差为30元 试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计 置信水平为0 95 解 设每天职工的总医疗费为X 近似服从正态分布 由中心极限定理 E X D X 则有 近似N 0 1 分布 使 得均值的置信水平为的区间估计为 未知 用样本标准差S近似代替 将 170 S