晶体学基础(第二章)

第二章晶体的投影 2 1面角守恒定律2 2晶体的球面投影及其坐标2 3极射赤平投影和乌尔夫网2 4乌尔夫网的应用举例 1 2 1面角守恒定律 面角守恒定律 lawofconstancyofangle 斯丹诺于1669年提出 亦称斯丹诺定律 lawofSteno 同种晶体之间 对应晶面间的夹角恒等 这里夹角一般指的是面角 interfacialangle 即晶面法线之间的夹角 2 晶面角守恒定律告诉我们 将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1 平行放置 则这两个晶体其它的相应晶面m2与m2 mn与mn 也互相平行 即同一种物质的相应晶面间夹角不变 3 成分和结构相同的晶体 常常因生长环境条件变化的影响 而形成不同的外形 或者偏离理想的形态而形成所谓的 歪晶 4 面角守恒定理起源于晶体的格子构造 因为同种晶体具有完全相同的格子构造 格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面 晶体生长过程中 晶面平行向外推移 故不论晶面大小形态如何 对应晶面间的夹角恒定不变 面角守恒定律的确立 使人们从晶形千变万化的实际晶体中 找到了晶体外形上所固有的规律性 得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状 从而奠定了几何结晶学的基础 并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因 5 晶体测量 goniometry 又称为测角法 根据测角的数据 通过投影 可以绘制出晶体的理想形态图及实际形态图 在这一过程中还可以计算晶体常数 确定晶面符号 见第四章 同时 还可以观察和研究晶面的细节 微形貌 晶体测量是研究晶体形态的一种最重要的基本方法 为了便于投影和运算 一般所测的角度不是晶面的夹角 而是晶面的法线 normalstoplane 夹角 晶面夹角的补角 称为面角 interfacialangle 6 晶体测量使用的仪器有接触测角仪 contactgoniometer 和反射测角仪 reflectgoniometer 两类 使用很简单 但精度较差 且不适于测量小晶体 7 单圈反射测角仪 精度可达l 0 5 但缺点是晶体安置好之后只能测得一个晶带 指晶棱相互平行的一组晶面 上的面角数据 若欲测另一晶带上的面角时 必须另行安置一次晶体 测量手续复杂 8 双圈反射测角仪 晶体位于二旋转轴的交点 光管射出的光束也正好通过此二旋转轴的交点 当观测镜筒中出现 信号 时 我们便可以在水平圈上得到一个读数 极距角 并在竖圈上得到一个读数 方位角 和 这两个数值犹如地球上的纬度和经度 是该晶面的球面坐标 双圈反射测角仪的精度可达l 当晶体安置好之后 除被胶腊黏结的晶面外 其余全部晶面均可测量 且根据所测得的晶面的球面坐标 可以直接进行投影 因此 这种仪器得到了广泛的应用 9 10 通过晶体测量 可以得到一组数据 即每一个晶面的球面坐标 包括方位角 值和极距角 值 但是仅由这组数据 还不能够直观地看出晶面空间分布的规律性来 为了解决这一问题 还需要把数据变换成一定形式的平面图形 这就是晶体的平面投影 晶体的平面投影全部是在球面投影的基础上进行的 因此晶体的投影实际包括两个步骤 第一步是晶体的球面投影 第二步是将球面投影转变为平面投影 11 晶体的球面投影原理设想将晶体安置在以单位长度为半径的参考球的球心 把晶体上各种平面的和直线的要素 一一投影到球面上 12 投影球要素及名称如下 1 投影中心 即球心 用O表示 2 赤道平面 过投影球中心的水平面 也是极射赤道平面投影的投影面 赤道平面在投影球上只有一个 3 赤道 赤道平面与投影球面的交线 赤道为极射赤道平面面投影的基圆 4 投影轴 过球心且垂直于赤道平面的直线 上端与投影球的交点为北极N 下端与投影球的交点为南极S 5 子午面 包含投影轴的直立平面 投影球上的子午面有无数个 与球面的交线为子午线 13 晶体外形上及构造中的平面要素有晶面 对称面 面网等 直线要素有晶棱 行列 晶轴 对称轴等 直线 晶面 平面的球面投影方法是不同的 14 直线的球面投影设想使晶体中心与投影球的球心重合 将晶体上任意一直线平行移到投影球中心 然后向两端延伸 使之与球面相交 交点为直线的球面投影点 称为直线在球面上投影的迹点 任意一条直线在球面上都有两个迹点 可以看出 所有直线都必须平移到投影球中心 然后才能进行投影 因此所有方向相同的直线 在球面上的投影点的方位都相同 直线的球面投影点只能反映直线的方向 而不能反映直线的具体位置 2 2晶体的球面投影及其坐标 15 晶面的球面投影 投影方法设想将晶体中心与投影球中心重合 过中心作某晶面的法线 并延伸使之与球面相交 交点就是该晶面的球面投影点 称为该晶面的极点 在图中 A点为晶面的球面投影点 即晶面的极点 任意一晶面在球面上的投影均为一个点 晶面的球面投影点只能反映晶面的空间方位 与晶面的实际形态和大小无关 16 球面上投影点的坐标 极距角和方位角 地球上任意一点的位置都可以用经度和纬度来表示 如果像地球上的经纬线那样 在投影球面上画上坐标网线的话 那么 投影点在球面上的位置 也可以用该点的极距角和方位角这两个球面坐标来表示 在球面坐标网中 与纬度相当的是极距角 与经度相当的是方位角 如图所示 17 极距角 投影轴与晶面法线或直线间的夹角 也就是北极N与球面上投影点之间的弧度 故称极距角 极距角都是从北极N点开始度量 从投影球N极到S极 共分180 方位角 是包含晶面法线或直线要素的子午面与投影球零子午面之间的夹角 也就是球面上投影点所在的子午线与零子午线之间的水平弧度 故称方位角 方位角都是从零度子午线 0 一般在投影球最右侧 开始顺时针方向计角的 投影球一周的方位角共分为360 有了球面坐标网以后 只要知道投影点的球面坐标值 即可以确定投影点在球面上的位置 18 两晶面之间的面角 可以直接用投影球面上两极点之间所夹的弧度度量 由图可以看出 P Q是两晶面球面投影点 两晶面法线的夹角 面角 就是OP OQ之间的夹角 其大小等于P Q之间的大圆弧的弧度 同样 两条相交直线之间的夹角 也可以用两个相应迹点间的大圆弧度量 19 参考网格类似于地球的经线 Longitude 和纬线 Latitude 经线是过球两极点 TwoAntipodalPoints 的大圆 它们将赤道 Equator 等分为360份 或等间距的不同份数 纬线是平行于赤道的一系列小圆 相邻两个小圆间夹角相等 一般为一度 这样将经线大圆为360份 测量时 将参考网格转动 使测量的两个极点落在同一条经线上 读出两极点之间的纬度 就是这两极点之间的夹角 20 交棱相互平行的一组晶面 其极点分布在同一大圆弧上 经球面投影以后 晶面的大小 形态的影响被完全消除 面角关系则不变 而且被突出显示出来 21 平面的球面投影除晶面以外的平面 如对称面 球面投影的方法与晶面不同 投影时设想将晶体中心与投影球中心重合 将平面扩展后与投影球相交 平面与投影球的交线就是该平面的球面投影 晶体上任一平面的球面投影均为圆 通过投影中心的平面 其球面投影是一个与投影球等径同心的圆 称大圆 不通过投影中心的平面 其球面投影均小于大圆 称为小圆 22 球面投影可以真实地表示晶体上各种要素的空间几何关系 由于这只是一种空间关系 在实际的研究工作中难以应用 只有将它们投影到平面上 成为平面的投影图形 才有实用价值 将球面投影转变为平面投影的方法有正投影 极射赤平投影和心射赤平投影 23 把球面转化为一种平面关系 常用极射赤面投影 以过参考球球心作一平面作为投影面 投影面和参考球相交的大圆称为基圆 BasicCircle 又称为赤道平面 EquatorPlane 垂直于投影面并过球心的轴NS为投影轴 ProjectionAxis 投影轴在参考球上的两个交点S和N是南极和北极 SouthandNorthPoles 又称下目测点和上目测点 处于上半球面上的极点 迹点 和下目测点相连 处于下半球面上的极点 迹点 和上目测点相连 它们的连线和投影面的交点就是这个极点 迹点 的极射赤面投影点 24 25 极射投影有时选取和视点另一侧 另一视点 相切的面作为投影面 投影时从视点和球面上极点相连线延长至投影面 所得交点就是投影点 这样的极射投影图和选择赤道面作投影面的完全一样的 只是尺寸大小改变罢了 26 晶面极射投影的一些性质 和赤道面平行的晶面 它的极射投影点必在基圆中心 晶面的球面投影点在北半球 以南极为视点进行投影 投影点用 表示 晶面的球面投影点在南半球 以北极为视点进行投影 投影点用 表示 27 垂直于赤道面的晶面 它们的极点的投影必在基圆的圆周上 28 倾斜晶面的极点倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内 晶面法线与投影轴的夹角越小 则投影点距基圆中心越近 反之 就越趋向于基圆圆周 29 晶体上平面的极射赤平投影 投影球上的任意圆 不论是大圆或小圆 它们的极射投影一般是圆或圆弧 倾斜大圆的投影为以基圆为弦的一条弧 也称大圆弧 30 直立小园的投影为一段圆弧 其位置和大小取决于小园的位置和大小 31 2 3极射赤平投影和乌尔夫网 水平小园投影仍为一个园 并以基园的圆心为圆心 32 倾斜小园的投影为一小圆 其位置决定于小园的位置 33 和投影面垂直的大圆的极射投影是过基圆圆心的直线 2 3极射赤平投影和乌尔夫网 34 2 3极射赤平投影和乌尔夫网 将基园拿出来 依据倾斜大园和直立小园投影的结果 并标示出适当的角度间隔 就是著名的乌尔夫网 吴氏网 乌尔夫网是极射投影的量度工具 35 基园的刻度可用来度量方位角 旋转一周为360 直径上的刻度可以用来度量极距角 从圆心为 0 到圆周为 90 大圆弧上的刻度可以用来度量晶面的夹角 2 3极射赤平投影和乌尔夫网 36 2 3极射赤平投影和乌尔夫网 37 标准的吴氏网 其基圆直径为20cm 网线的分度为每格2 但是在两极附近 经线的间隔为10 作图时的精度一般要求达到0 5 没有落在网线上的点 其网线间的分度可以用插入法估计确定 在应用吴氏网进行投影时 需要透明纸 大头针 铅笔等作图工具 投影方法步骤如下 1 将透明纸覆于网面上 用大头针在网心将两者固定在一起 使透明纸能够相对于吴氏网旋转 2 用铅笔在透明纸上描出基圆 并用 表出网心 3 在基圆上选一点 一般在直径右侧端点 作为 0的标志 38 进行晶体的投影图解和计算时 都是用转动透明纸完成的 转动时注意保持吴氏网不动 并使吴氏网的基圆与透明纸的基圆始终重合 作图时不能使用圆规和直尺 要徒手进行 39 例1 已知一晶面M的球面坐标 极距角 30 和方位角 40 作出该晶面M的极射赤平投影 40 例2 两极点 或迹点 之间角度测量 41 例3 极点所对应的面痕 42 例4 极点绕投影面法线转动 因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的 所以先把转动轴转到与吴氏网的NS轴重合 然后从极点沿纬线转动所需转的角度即可 43 例5 极点绕位于投影面上的轴转动 因为绕位于投影面上的轴转动的轨迹的面是与投影面垂直的 所以先把转动轴转到与吴氏网的NS轴重合 然后从极点沿纬线转动所需转的角度即可 44 例6 极点绕倾斜轴转动要求下图中的A1极点绕B1轴以顺时针方向转动40 2 4乌尔夫网的应用举例 45 2 4乌尔夫网的应用举例 练习题 求已知点的球面坐标值 求已知点的直径反向点 即已知一条直线在球面上的一个投影点 求另一个反向的端点的投影点 求作过两个已知点的大圆 求两已知点之间的角距 求以已知点b为极的极线大圆 即距b点为90 的大圆 求一直大圆be的极 即距be大圆为90 的点 求作同时垂直于二已知大圆be和em的第三个大圆 求二已知大圆be和em之间的夹角 46 附1 标准投影图 标准极图 StandardProjection 47 48 49 50 51 附2 心射极平投影心射极平投影 gnomonicprojection 的方法不及极射赤平投影常用 但它对于晶体测量过程中确定晶面符号以及解释X射线劳埃图像却非常有用 这种投影方法与极射赤平投影的区别在于将目测点置于投影