《2 3 5 9 11的倍数特点及证明》 Microsoft Word 文档.doc

2n与5n的倍数特点及证明 对于倍数的特点我们早在小学五年级就学了一些。比如：2，3，5，9的倍数特点。上高中之后我慢慢的对数学感兴趣了。于是对自己提问：我们只学了这几个数的倍数特点，其他的数的倍数又有什么特点？这几个数的倍数的特点是怎么知道的呢？有什么理由说它们一定都是这样的呢？记得一个数学老师曾经说过：“要说这个命题是对的，就要给出证明;如果要说这个命题是错的，只需要例举一个反例”！所以它们都得有个证明才行呀？于是我开始对它们亲密起来。想方法去证明它们。现在我们先来看看几个数的倍数特点， 2的倍数特点：尾数是0，2，4，6，8的数。 3的倍数特点：组成这个数的各位数字之和是3的倍数。 5的倍数特点：尾数是0或5。 9的倍数特点：组成这个数的各位数之和是9的倍数 11的倍数特点：这个数的奇位上数字之和与偶位上数字之和的差能被11整除。其他的一些数的倍数有什么特点呢？我最先开始对它们的倍数进行观察。先来看看4的倍数的尾数有什么特点：04，08，12，16，20， 24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，我们发现：前面是偶数后面就是0，。前面是奇数后面就是，。所以我当时就来了一句顺词：前奇为，。前偶0，。发现这个规律是一九九八年冬。过后我在另一本书上看到是末尾两位数能被4整除这个数就能被4整除。当时我马上就把4 和2联系起来了，也许是考虑的量多了的好处。量变到质变嘛！我是这样想的： 2的倍数特点：末尾一位数能被2整除。 4的倍数特点：末尾两位数能被4整除。 我马上就猜想到： 8的倍数特点：末尾三位数能被8整除。（8=23） 16的倍数特点：末尾四位数能被16整除。（16=24） 32的倍数特点：末尾五位数能被32整除。（32=25） 2n 的倍数特点：末尾n位数能被2n整除。对于这个猜想是笔者在一九九九年春发现的。但还是检验了很了，是对的。当时我很高兴，但并不知道怎么去证明它，一直困饶着我。终于在一个月后的一天，当时灵感突然来了。是多么的高兴。这个问题的规律对于我来说是一个惊人的猜想。一般地我们都会把2，4，这样的倍数分开来考虑的。或者会想到把2，4，与6，8，10一起联系起来。当时我并不是这样的思考的，所以我们对一个问题要深思熟虑。我们自己就是一本百科全书，要充分的运用我们现有的宝贵资源（我们的大脑），不要到处去寻找怎么样才能得到智慧！知识需要量变，量变多了，质变自然就来了，到时候就由不得你质变了！灵感不是说来就会来的。我想牛顿发现万有引力定律，瓦特发明蒸汽机，鲁班发明锯子，大诗人李白酒后诗百篇。都是知识积累到一定的程度，才能达到连他们自己都难以想象到的成就！当然我比起他们来说我还是一个小将。还得多些努力。知识如沙滩，数学只是沙滩里的一些小石子，我只是一个在沙滩上拾着小石子玩耍的小孩。我们来看看这个猜想是怎样证明的：证明：任意自然数N都可以表示为：K10n+An （KN，An是自然数N的末尾n位数）很显然K10n是2n的倍数。关键看An是不是2n的倍数。若是，则该数就是2n的倍数。证毕！我们从上面的证明中可以看到： K10n/2n= K5n我们就不是可以得到5n的倍数特点了吗？回想一下，5的倍数特点：尾数是0或5。5的倍数特点不就是末尾一位数能被5整除吗？这正是吻合的嘛！于是就可以猜想： 5的倍数特点：末尾一位数能被5整除。 (5=51) 25的倍数特点：末尾两位数能被25整除。（25=52） 125的倍数特点：末尾三位数能被125整除。（125=53） 625的倍数特点：末尾四位数能被625整除。（625=54） 2n 的倍数特点：末尾n位数能被2n整除。证明：任意自然数N都可以表示为：K10n+An （KN，An是自然数N的末尾n位数）很显然K10n是5n的倍数。关键看An是不是5n的倍数。若是，则该数就是5n的倍数。证毕！ 一九九九年春作于瓮安二中 3与9的倍数特点及证明我们大家都知道： 3 的倍数特点：组成这个数的各数字之和是3的倍数。 9的倍数特点：组成这个数的各数字之和是9的倍数它们有着想同之处。我们来看看怎么证明，任意一个自然数An（表示一个n位数）。An=a110n-1+a210n-2+a310n-3+a410n-4+an-110+ an =（999999a1+a1）+（99999a2+a2）+（9999a3+a3）+（999a4+a4）+（9an-1+an-1）+an =（999999a1）+（99999a2）+（9999a3）+（999a4）+9an-1+（a1+a2+a3+a4+an-1 +an） 前面画线部分显然是9的倍数，（当然也是3的倍数）关键是a1+a2+a3+a4+an-1 +an是不是9和3的倍数。a1+a2+a3+a4+an-1 +an 不就是组成这个数An的各个数字之和吗？证毕！ 一九九八年十一月二十一日作于瓮安二中 11的倍数特点探索及证明自然数M=A1+10A2+102A3+103A4+10n-2An-1+10n-1An = A1+10A2+（99A3+A3）+（990A4+10A4）+（9999A5+A5）+（9999OA2k+A2k）+（9999A2k+1+A2k+1） =（99A3+990A4+9999A5+9999OA2+9999A2k+1）+ （A1+10A2+A3+10A4+A5+A2k +A2k+1）=11N+A1+10A2+A3+10A4+A5+10A6+A7+10A2k+A2k+1 =11M+（A1-A2+A3-A4+A5-A6+A7-A8+-A2k+A2k+1） 显然：组成这个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差是否是11的倍数！如果是，则这个数就是11的倍数！ 例如：问312 345 367是否是11的倍数？ （3+2+4+3+7）-（1+3+5+6）=4 ， 4不11的倍数， 所以312 345 367不是11的倍数。问7 565 235 678是否是11的倍数？ （7+6+2+5+7）-（5+5+3+6+8）=0 ， 0是11的倍数， 所以7 565 235 678是11的倍数。 注：并且组成这个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差除以11与这个数除以11的余数相同。证明就在上面的式子中。2000年10月6日早作于白沙（家中）n个连续N之积必定能被n整除2个连续N之积必定能被2整除3个连续N之积必定能被3整除4个连续N之积必定能被4整除n个连续N之积必定能被n整除推广:k个连续自然数之积必定能被n整除 (kn)证法一:设最小的一自然数为t+1,则有:t+1、t+2、t+3、t+n、在nqn（q+1）中有n-1个数,而t+1、t+2、t+3、t+n中有n个数， t+1、t+2、t+3、t+n中必有一个数是nq或n（q+1）的倍数！也可以怎么描述：1n，n2n，2n3n，tn（t+1）n，每段中只有n-1个数不是n的倍数，而现在有连续的n个N，所以这连续n 个数必定有一个（有且只有一个）是tn，证法二：（一）当：1t+1n时，则有： nt+n2n-1 显然t+1t+n中必定有等于n（二）当：t+1=qn时，成立。（三）当：qnt+1（q+1）n时，则有：（q+1）n-1t+n（q+2）n-1 显然t+1t+n中必定有等于（q+1）n3个连续N之和必定能被3整除5个连续N之和必定能被5整除7个连续N之和必定能被7整除9个连续N之和必定能被9整除猜想：2n+1个连续N之和必定能被2n+1整除证明： 设这2n+1个数的中间个数为k，则有：（k-n）+（k-n+1）+（k-2）+（k-1）+k+（k+1）+（k+2）+（k+n-1）+（