河北高考数学第一轮总复习知识点检测 9.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 旧人教

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系,基础梳理,1.平面的基本性质,2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系相交共面共面与否平行异面一个公共点:相交公共点个数平行无公共点异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,（4）异面直线的夹角定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.范围：（0,.特别地，如果两异面直线所成的角是，我们就称这两条直线垂直，记作ab.3.空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行无公共点4.平面与平面的位置关系平行无公共点相交有且只有一条公共直线,典例分析,题型一点、线、面的位置关系,【例1】下列命题:空间不同三点确定一个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_.,分析根据公理及推论作判断.,解由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.,学后反思平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.,举一反三,1.给出下列命题：如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任意三点的平面有且只有一个;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为_.,解析由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行的两直线可能异面，故错.答案,题型二证明三点共线,【例2】已知ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.,分析要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面和平面的交线上即可.,证明由已知条件易知,平面与平面ABC相交.设交线为,即=面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P为平面与面ABC的公共点,P.同理可证,点R和Q也在交线上.故P、Q、R三点共线于.,学后反思证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.,举一反三,2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证:点B、D、P在同一条直线上.,证明由于直线EF和GH交于点P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.,题型三证明点线共面,【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.,分析由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.,证明(1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.,学后反思证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.,举一反三,3.在正方体ABCD-中,E是AB的中点,F是的中点.求证:E、F、C四点共面.,证明如图，连接,EF,.E是AB的中点,F是的中点,EF.,EF.故E、F、C四点共面.,题型四证明三线共点,【例5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且.求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.,分析先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.,证明E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF=BD.2又,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,4四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直线EG、FH、AC相交于同一点P12,学后反思证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.,举一反三4.（2010曲靖模拟）已知：如图所示的空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG=CB，CH=CD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三直线FH、EG、AC共点.,解析：（1）如图，连接EF、GH.故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.,（2）EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形.如图，设FH与EG交于O点，则OFH平面DAC,OEG平面BAC,O(平面DAC平面BAC)=AC,即直线AC过O点，故三直线FH、EG、AC共点.,易错警示,【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.,错解P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.,错解分析错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.,正解过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.,10.G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）,解析:对于（1），连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于（3），连接GM，易知GMHN，故（1）、（3）中GH与MN共面；（2）、（4）中GH与MN是异面的.,答案:（2）（4）,11.设ABCD的各边和对角线所在的直线与平面依次相交于,求证:六点在同一条直线上.,解析：如图，设ABCD所在的平面为,A,B,AB.又AB,.又,在平面与平面的交线上,设交线为l,则l.同理可证,都在直线l