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函数的奇偶性,高三备课组,1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有，则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。,知识点,2.性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，奇函数在有意义，则,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和奇奇=奇偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数,3奇偶性的判断一.定义法：看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称,（书）例1判断下列函数的奇偶性,二应用举例,例2定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0求证：f(0)=1求证：y=f(x)是偶函数,练：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。,从定义出发解题,例3已知函数f(x)，当x0时，f(x)=x2+2x-1若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。,练：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。,从性质和图形出发解题,(书例1)变式一：已知函数是偶函数，在是单调减函数,则BCD,练习：已知f(x)是定义在上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围。,(书）例4函数f(x)是定义在上的函数，且f(x)满足对任意,有求f(1)的值判断f(x)的奇偶性并证明，若且f(x)在上为增函数,求x的取值范围,综合应用：与单调性、不等式联系,三小结定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件；y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称F
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