九年级数学直角三角形的应用一周强化沪教版.doc

解直角三角形的应用一周强化一、一周知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图所示温馨提示：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示则如图所示温馨提示：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30，南偏东45，北偏西60，南偏西80，如：东南方向，指的是南偏东45角的方向上如图所示。二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角(2)把数学问题转化成解直角三角形问题如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位三、解题方法技巧点拨1、测量河宽例1、(2006潍坊课改)如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离 分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而ACAD=m，可运用解方程的方法求出AB即可解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：在公路上取两点C，D，使BCD，BDC为锐角；用测角器测出BCD=，BDC=；用尺子测得CD的长，记为m米；计算求值(3)解：设B到CD的距离为x米，作BACD于点A，在CAB中，x=CAtan，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)例2、(四川眉山)为了搞好防洪工程建设，需要测量岷江河某段的宽度，如图(1)一测量员在河岸的A处测得对岸岸边的一个标记B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向行进了150米到达点C处，这时测得标记B在北偏西30的方向(1)求河的宽度(保留根号)(2)除上述测量方案外，请你在图(2)中再设计一种测量河的宽度的方案解析：(1)由题设可得ABC为直角三角形，且有B=BCE=30，且AC=150米，故可解直角三角形ABC求出AB(2)可用解直角三角形、全等三角形、相似三角形等性质来测量河的宽度解：如图(3)(3)(1)BCE=30，ACB=60又CAB=90，AC=150米，在RtABC中(2)利用全等、相似等方法，正确即可点评：在解决有关方向角的问题时，南北方向与东西方向是垂直的，可构成直角三角形，根据已知条件解相关的直角三角形是一般方法2、仰角、俯角问题例3、如图，在平地D处测得树顶A的仰角为30，向树前进10m，到达C处，再测得树顶A的仰角为45求树高AB(结果保留根号)解析：先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形已知ABC=90，ACB=45，ADB=30，CD=10m，求AB由于AB所在的RtABC和RtABD都不够解三角形的条件，所以需设AB=x，同时解两个直角三角形，得到关于x的方程再求出x的值解：设AB=xm，则在RtABC和RtABD中，BC=ABcot45，BD=ABcot30，3、坡角、坡度(坡比)例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求B、AE、BC此题实质转化为解直角三角形的问题点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边4、象限角例5、(河南省)如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45方向上，测得B在北偏东32方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？(结果精确到1米参考数据：sin32=0.5299，cos32=0.8480)解析：过点C作CDAB于点D，先解直角三角形BCD求得BD、CD，再由所求得线段CD为条件解直角三角形ACD求得AD，由AB=ADBD，可求得AB解：过点C作CDAB，垂足为D，B点在A点的正东方向上，ACD=45，DCB=32，在RtBCD中，BC=100，DB=BCsin321000.5299=52.99(米)CD=BCcos321000.8480=84.80(米)，在RtACD中，AD=CD，AB=ADDB84.8052.99=137.79138(米)点评：实际测量中方向角的问题，按南北方向与东西方向垂直构造直角三角形为常用方法例6、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知CAB=9060=30，ABC=9030=120，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题解：根据题设可知ABC中，CAB=30，ABC=120，ACB=180-30-120=30,AB=BC=8，作CDAB于D最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度在RtCBD中，BC=8，CBD=60，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障5、开放探究题例7、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，BAD=45(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且BCD=65，请问谁先到达点B？(所有