2020中考数学压轴题专题16 二次函数的存在性问题

专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设，当k为何值时，.如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由【答案】（1），D的坐标为；（2）；以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；(2)由A、C、D三点的坐标求出，可得为直角三角形，若，则点F为AD的中点，可求出k的值；由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点F的坐标【详解】(1)抛物线过点，解得：，抛物线解析式为；，顶点D的坐标为；(2)在中，为直角三角形，且，F为AD的中点，；在中，在中，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：当时，设直线BC的解析式为，解得：，直线BC的解析式为，直线OF的解析式为，设直线AD的解析式为，解得：，直线AD的解析式为，解得：，当时，直线OF的解析式为，解得：，综合以上可得F点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题【变式1-1】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，为顶点的三角形与相似，求点的坐标【答案】（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或【解析】（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出BAE=ABC=45，设，由相似得到或，建立方程求解即可【详解】（1）将，代入得：，解得抛物线解析式为（2）存在，理由如下：联立和，解得或E点坐标为(4,-5)，如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q，此时Q点与Q点的坐标即为所求，设Q点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，由QA=QE，QA= QE得：，解得，故Q点坐标为或（3），当时，解得或3B点坐标为(3,0)，由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)BAE=45设则，和相似 或，即或解得或，或【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键【变式1-2】如图，已知抛物线(m0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）点H的坐标为（1，）；（3）当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似. 【解析】分析：（1）把点（2，2）代入中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；（3）由解析式可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知ACB和ABM是钝角，因此存在两种可能性：当ACBABM，ACBMBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解：（1）把点（2，2）代入抛物线，得2=. 解得m=4. 抛物线的解析式为. （2）令，解得.则A（-2，0），B（4，0）. 对称轴x=-. 中当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2）.点A和点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，直线BC的解析式为y=. 当x=1时，y=.点H的坐标为（1，）. （3）假设存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似.如下图，连接AC，BC，AM，BM，过点M作MNx轴于点N，由图易知，ACB和ABM为钝角，当ACBABM时，有=，即.A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，CAB=BAM=.MNx轴，BAM=AMN=45，AN=MN. 可设M的坐标为：（x，-x-2）（x0），把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=.化简整理得：x=2m，点M的坐标为：（2m，-2m-2）.AM=.，AC=，AB=m+2，.解得：m=.m0，m=. 当ACBMBA时，有=，即.CBA=BAM，ANM=BOC=，ANMBOC，=.BO=m，设ON=x，=，即MN=（x+2）.令M（x，）（x0），把M点的坐标代入抛物线的解析式，得=.解得x=m+2.即M（m+2，）.，CB=，MN=，.化简整理，得16=0，显然不成立. 综上所述，当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似. 点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A、B是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道ACB和ABM为钝角，结合题意得到存在：当ACBABM，ACBMBA这两种可能情况”是解答第3小题的关键.【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点求抛物线的解析式；设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)见解析.【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定ACD为直角三角形，则可求得其面积；（3）根据题意可分DFE=90和EDF=90两种情况，当DFE=90时，可知DFx轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当EDF=90时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标【详解】解：抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为，把代入可得，解得，抛物线解析式为；在中，令可得，解得或，设直线解析式为，把代入得：，解得，直线解析式为，由可知抛物线的对称轴为，此时，是以为斜边的直角三角形，；由题意知轴，则，为直角三角形，分和两种情况，当时，即轴，则、的纵坐标相同，点纵坐标为，点在抛物线上，解得，即点的横坐标为，点在直线上，当时，当时，点坐标为或；当时，直线解析式为，直线解析式为，直线与抛物线的交点即为点，联立直线与抛物线解析式有，解得或，当时，当时，点坐标为或，综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过轴上两点的抛物线（）交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的G经过点，求解下列问题：（1）用含的代数式表示出的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？如能，求出点的坐标，若不能，请说明理由。【答案】（1）点的坐标为,点的坐标为；（2） 抛物线的解析式为；（3）满足题意的点有三个：、和 【解析】【试题分析】（1）是顶点式，则顶点的坐标为,当x=0,则y=-3m,即点的坐标为；（2）连接CD 、 BC，过点作轴于，如图所示:根据直径所对的圆周角是直角，得 ,出现“一线三等角模型”，得 得： ，解得，则抛物线的解析式为.（3）分三种情况分类讨论： （图）显然与点重合，点坐标为 ；=（图）作轴于，轴于，根据两角对应相等，两三角形相似，得，则，由于点坐标，则，解得：由得坐标： ；=（图）延长交轴于，作轴于，轴于,同理可证：，则，即,得，点的坐标为，设所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M和D（1,4）代入得： 解得：则直线DM的解析式为 ,把代入得：，解得，最后把代入 得,点的坐标为综上述，点有三个：、和 【试题解析】（1）y是顶点式点的坐标为当x=0时，y= -3m点的坐标为（2） 连接CD 、 BC，过点作轴于，如图所示：BD是G的直径DCB=ECD+BCO=ECD+EDC=BCO=EDCDEC=BOC= 抛物线的解析式为（3）能在抛物线上找到一点Q，使BDQ为直角三角形很明显，点即在抛物线上，又在G上，这时与点重合点坐标为 如图，若为，作轴于，轴于同理可证：点坐标化简得：,解得：（不合题意，舍去），由得坐标： 若为,如图，延长交轴于，作轴于，轴于,同理可证：则,得，点的坐标为设所在的直线解析式为y=kx+b,把M和D（1,4）代入得： 解得：直线DM的解析式为 ,把代入得：解为：（不合题意，舍去），把代入 得,点的坐标为 综合上述，满足题意的点有三个：、和 【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3种情况分类讨论），难度较大.【变式2-2】已知抛物线与轴只有一个交点，且与轴交于点，如图，设它的顶点为B（1）求的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图请在抛物线上求点P，使得是以EF为直角边的直角三角形？【答案】（1）m = 2；（2）证明见解析；（3）满足条件的P点的坐标为（，）或（，）【解析】试题分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出ABC为等腰直角三角形；（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标试题解析：（1）抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，=（-2）2-41（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点B（1，0），当x=0时，y=1，得A（0，1）由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1在RtCDB中，CBD=45，BC=同理，在RtAOB中，AO=OB=1，于是ABO=45，AB=ABC=180-CBD-ABO=90，AB=BC，因此ABC是等腰直角三角形；（3）由题知，抛物线C的解析式为y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3；当y=0时，x=-1或x=3，E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1Mx轴于MP1EM+OEF=EFO+OEF=90，P1EM=EFO，得RtEFORtP1EM，则，即EM=3P1MEM=x1+1，P1M=y1，x1+1=3y1由于P1（x1，y1）在抛物线C上，则有3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1，或x2=-1（舍去）把x1代入中可解得，y1=P1（，）第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2Ny轴于N同第一种情况，易知RtEFORtFP2N，得，即P2N=3FNP2N=x2，FN=3+y2，x2=3（3+y2）由于P2（x2，y2）在抛物线C上，则有x2=3（3+x22-2x2-3），整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2把x2代入中可解得，y2P2（，）综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）.【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图，已知：二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使ABM的面积等于ABC的面积，求M点坐标（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）；（3）点M的坐标为（1，3），（1+，3），（2，3）；（4）存在；点Q的坐标为（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由点A，D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，连接BD，交抛物线的对称轴于点P，由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度，再由点B，D的坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点M的坐标为（x，x2+2x-3），由ABM的面积等于ABC的面积可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出点M的坐标；（4）设点Q的坐标为（-1，m），结合点B，C的坐标可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点Q的坐标【详解】解：（1）将A（3，0），D（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+2x3（2）当y0时，x2+2x30，解得：x13，x21，点B的坐标为（1，0）连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示PAPB，此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，3），BD3，PA+PD的最小值为3（3）当x0时，yx2+2x33，点C的坐标为（0，3）设点M的坐标为（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），点M的坐标为（1，3），（1+，3），（2，3）（4）设点Q的坐标为（1，m）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图2所示）：当BQBC时，m2+410，解得：m1，m2，点Q1的坐标为（1，），点Q2的坐标为（1，）；当CQCB时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点Q3的坐标为（1，0），点Q4的坐标为（1，6）；当QBQC时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点Q5的坐标为（1，1）综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或一元一次）方程，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用两三角形面积相等，找出关于x的一元二次方程；（4）分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于m的方程【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）C（4，3）；（3）P（）或（）或（）或（）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分O是顶角，C是顶角，P是顶角三种情况讨论试题解析：（1）把点A（1，0）和B（3，0）代入得，解得，所以，抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴为直线x=2，四边形OECF是平行四边形点C的横坐标是4，点C在抛物线上，点C的坐标为（4，3）；（3）点C的坐标为（4，3），OC的长为5，点O是顶角顶点时，OP=OC=5，OE=2，所以，点P的坐标为（2，）或（2，-）；点C是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，所以，点P的坐标为（2，）或（2， ）；点P是顶角顶点时，点P在OC上，不存在.综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使OCP是等腰三角形考点：二次函数综合题【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.当时，求点坐标； 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2+4x+5；（2）P点坐标为（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标试题解析：（1）点B（4，m）在直线y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=2，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=6，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，7）；设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，当BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x4|=，解得x=4+或x=4，此时P点坐标为（4+，48）或（4，48）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考点：二次函数综合题【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，），顶点为P（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积【答案】（1）y=x2+x（2）存在，（12，2）或（1+2，2）（3）点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为 8【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得，解得：a=，b=1，c=抛物线解析式：y=x2+x（2）存在y=x2+x=（x+1）22P点坐标为（1，2）ABP的面积等于ABE的面积，点E到AB的距离等于2，设E（a，2），a2+a=2解得a1=12，a2=1+2符合条件的点E的坐标为（12，2）或（1+2，2）（3）点A（3，0），点B（1，0），AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形ABPF，AB=PF=4点P坐标（1，2）点F坐标为（3，2），（5，2）平行四边形的面积=42=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（3，0），点B（1，0），点P（1，2） ，x=1，y=2点F（1，2）平行四边形的面积=44=8综上所述：点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为8【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+bx+c，经过A（0，4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2-x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）D（-72，256）；（3）存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形【解析】试题分析：（1）把A（0，4）代入可求c，运用根与系数的关系及|x2-x1|=5，可求出b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可试题解析：（1）抛物线y=-23x2+bx+c，经过点A（0，4），c=4，又由题意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的两个根，x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，x12+x22-2x1x2=25，(x1+x2)2-4x1x2=25，94b2-24=25，解得：b=143，当b=143时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=-143；（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，抛物线的顶点（-72，256）即为所求的点D；（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=3与抛物线y=-23x2-143x-4的交点，当x=3时，y=-23(-3)2-143(-3)-4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上考点：1二次函数综合题；2探究型；3存在型；4压轴题【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，连接，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.【答案】(1) y=x22x+4；(2) G（2，4）；(3)E（2，0）H（0，1）；【解析】试题分析:（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；先取EG的中点P进而判断出PEMMEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论试题解析：（1）点A（4，4），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形GEOB是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（a，2a+4），直线AC：y=x6，F（a，a6），设H（0，p），以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=x6，ABAC，EF为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，设AE交E于G，取EG的中点P，PE=，连接PC交E于M，连接EM，EM=EH=，=，=，PEM=MEA，PEMMEA，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=考点：二次函数综合题【达标训练】一、单选题1将抛物线y=2x21向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）A个单位 B1个单位 C个单位 D个单位【答案】A【解析】试题分析设抛物线向上平移a（a1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y=2x21+a，AM=a，抛物线y=2x21与y轴的交点M为（0，1），即OM=1，OA=AMOM=a1，令y=2x21+a中y=0，得到2x21+a=0，解得：x=，B（，0），C（，0），即BC=2，又ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，AO=BC，即a1=，两边平方得：（a1）2=，a10，a1=，解得：a=故选A【考点】二次函数图象与几何变换2如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】作中垂线交抛物线于，（在左侧），交轴于点;连接P1D,P2D.易得 ，将代入中得，故选B.当PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可以知道P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标.二、填空题3如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点是抛物线上一点，过作轴，垂足为如果以，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是_【答案】，【解析】根据抛物线的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；则ACD是等腰直角三角形，由于APDC，可知BAC=90；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而ABDC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长在RtABC和RtAMG中，已知了BAC=AGM=90，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标【详解】易知：A(1,0),D(1,0),C(0,1)；则OA=OD=OC=1，ADC是等腰直角三角形，ACD=90,AC=；又ABDC，BAC=90；易知直线BD的解析式为y=x1，由于直线ABDC,可设直线AB的解析式为y=x+b,由于直线AB过点A(1,0)；则直线AB的解析式为：y=x+1，联立抛物线的解析式：，解得,；故B(2,3)；AP=3；RtBAC和RtAMG中,AGM=PAC=90,且BA:AC=3: =3:1；若以A.M、G三点为顶点的三角形与BCA相似，则AG:MG=1:3或3:1；设M点坐标为(m,m21),(m1)则有：MG=m21，AG=|m+1|；当AM:MG=1:3时,m21=3|m+1|,m21=(3m+3)；当m21=3m+3时,m23m4=0,解得m=1(舍去)，m=4；当m21=3m3时,m2+3m+2=0,解得m=1(舍去)，m=2；M1(4,15),M2(2,3)；当AM:MG=3:1时,3(m21)=|m+1|,3m23=(m+1)；当3m23=m+1时,3m2m4=0,解得m=1(舍去),m=；当3m23=m1时,3m2+m2=0,解得m=1(舍去),m=(舍去)；M3(,).故符合条件的M点坐标为：(4,15),(2,3), (,).故答案为：:(4,15),(2,3), (,).【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用.4如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C当PAC为直角三角形时点P的坐标 【答案】（3，5）或（，）【解析】试题分析：由于P点不可能为直角顶点，因此就只有两种情况：若A为直角顶点，过A作AB的垂线与抛物线的交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点；若C为直角顶点，过A作x轴的平行线与抛物线的另一个交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点解：直线y=x+2过点B（4，m），m=6，B（4，6）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得：，解得：抛物线的解析式为：y=2x28x+6若A为直角顶点，如图1，设AC的解析式为：y=x+b，将A点代入y=x+b得b=3AC的解析式为y=x+3，由，解得：或（舍去）令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，P（3，5）；若C为直角顶点，如图2，令，解得：x=或x=（舍去），令P点的横坐标为，则纵坐标为，P（，）；故答案为（3，5）或（，）考点：二次函数综合题5如图，已知抛物线 与 轴交于A、C两点，与 轴交于点B，在抛物线的对称轴上找一点Q，使ABQ成为等腰三角形，则Q点的坐标是_. 【答案】Q1，Q2，Q3（2，2），Q4（2，3）【解析】先求得点A和点B的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线x=2，设抛物线的对称轴上的点Q的坐标为，分别求得，并用含的代数式表示的长，分三种情况构造方程求得的值.【详解】如图， 抛物线的对称轴为直线x=2 当y=0时， （x-2）2-1=0 解之：x1=3，x2=1 点A的坐标为（1，0） 当x=0时，y=3 点B（0，3） 设点Q的坐标为（2，m）. AB2=32+1=10，BQ2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ2=m2+1， 要使ABQ为等腰三角形， 当AB2=BQ2时，则（m-3）2+4=10, 解之：m1= ， m2= ， 点Q1 ， Q2. 当BQ2=AQ2时，则（m-3）2+4=m2+1, 解之：m=2 所以点Q2（2，2）； 当AB2=AQ2时，则10=m2+1, 解之：m=3 若m=-3，则点B、A，Q在同一直线上， m=-3舍去， 点Q4（2，3） 故答案为：，Q2，（2，2），（2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论6如图，抛物线yx2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点若MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_【答案】（1+，3）或（1，3）【解析】当MCD是以CD为底的等腰三角形时，则M点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标【详解】MCD是以CD为底的等腰三角形，点M在线段CD的垂直平分线上，如图，过M作轴于点E，则E为线段CD的中点，抛物线与y轴交于点C，C(0,4),且D(0,2)，E点坐标为(0,3)，M点纵坐标为3，在中,令,可得,解得，M点坐标为或，故答案为或.【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质进行解答.7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为_【答案】（4，-5）.【解析】根据抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，可求出A、B两点的坐标，进而求出AB的长度，由四边形ABMP是平行四边形，可知M点在x轴右边，PM/AB，且PM=AB=4 ，即可求出M点坐标.【详解】y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，A（-1，0）；B（3，0）AB=4，四边形ABMP是平行四边形，AB/PM，PM=AB=4，P点在y轴上，P点横坐标为4，P点在抛物线y=x2+2x+3上，x=4时，y=-16+8+3=-5，M点的坐标为：（4，-5）.故答案为（4，-5）【点睛】本题考查二次函数的应用，求出A、B的长度利用AB=PM求出M的横坐标是解题关键.8已知抛物线y（x2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线xt分别与直线yx、抛物线交于点A，B，若ABP是等腰直角三角形，则t的值为_【答案】0或3或或3或【解析】首先求出抛物线与直线y=x的交点坐标，再分四种情形列出方程即可解决问题【详解】解：由题意A（t，t），P（2，m）Bt，（t2）2，当点A或B是直角顶点时，|2t|t（t2）2|，解得t3或2，当点P是直角顶点时，|t（t2）2|2|2t|，解得t或0或3，综上所述，满足条件的t的值为0或3或2或3或故答案是：0或3或或3或【点睛】考查二次函数的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题.9将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线的图象是抛物线对称轴上的一个动点,直线平行于y轴,分别与直线、抛物线交于点A、若是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则 _ .【答案】或或或【解析】根据函数图象的平移规律，将向右平移2个单位,横坐标减2表示出抛物线的函数解析式.然后再根据题目条件表示出点A、B的坐标,进而能够表示出AB的长度与AP的长度,然后根据等腰直角三角形的两直角边相等列出方程求解即可.【详解】解：抛物线向右平移2个单位, 抛物线的函数解析式为, 抛物线的对称轴为直线, 直线与直线、抛物线交于点A、B, 点A的坐标为,点B的坐标为, , , 是以点A或B为直角顶点的三角形, , 或, 整理得, 解得, 整理得, 解得, 综上所述,满足条件的t值为：或或或, 故答案为：或或或.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,等腰直角三角形的性质,根据抛物线与直线的解析式表示出AB、AP或的长,然后根据等腰直角三角形的性质列出方程是解题的关键.10如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点若已知点的坐标为点在抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，点的坐标为_【答案