第二节可分离变量微分方程

.,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C为积分后出现的任意常数。,第二节、可分离变量微分方程,.,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,.,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,.,原方程的解为,.,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,.,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,.,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,注意：须将u代回.,.,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,.,例7,解,是齐次方程,.,.,例8,解,.,.,可得OMA=OAM=,例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕x轴旋转而成.,过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而AO,于是得微分方程:,.,利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),.,顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,.,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,.,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,.,解,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,.,两边积分，得,即,.,.,.,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,.,四、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐线性方程。,方程称为一阶非齐线性方程。,习惯上，称,为方程,所对应的齐方程。,.,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,.,的解存在，且唯一，其通解为,.,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,.,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,.,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,.,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗?!,.,故,即,.,上式两边积分，求出待定函数,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,.,.,解,所以，方程的通解为,.,解,原方程可以改写为,这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,.,解,例10,通解为,.,解,例12,两边求导，得,通解为,于是,.,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,.,五、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程。,代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程,于是，原方程的通解为,.,解,故,从而，原方程的通解为,.,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易