数值分析上机实验报告八.doc

西安工程大学数值计算方法实验报告 实验报告八题目： 线性方程组的迭代法摘要：对于工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组，利用迭代法解是最合适的。 前言：（目的和意义）掌握Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、SOR方法的基本原理和应用。数学原理：Jacobi迭代法，对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵。其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵： 于是Ax=b转化为： 与之对应的迭代公式为： Gauss-Serdel迭代法，在Jacobi迭代过程中，计算？已经得到，不必再用？，即原来的迭代公式可以改进为，于是得到Gauss-Serdel迭代公式： SOR方法，全称为逐次超松弛迭代法，它是Gauss-Serdel迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，逐次超松弛迭代公式为： 其中程序设计：本实验采用Matlab编写主程序如下Jacobi迭代法：A=5,2,1;-1,4,2;2,-3,10;MAXTIME=50; eps=1e-4;n,m=size(A); x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); k=0; disp(迭代过程X的值情况如下:) disp(X=); while 1 disp(x); for i=1:1:n s=0.0; for j=1:1:n if j=i s=s+A(i,j)*x(j); end y(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i); end end for i=1:1:n maxeps=max(0,abs(x(i)-y(i); end if maxepsMAXTIME error(超过最大迭代次数,退出); return; end endGauss-Serdel迭代法：A=5,2,1;-1,4,2;2,-3,10; n,m=size(A);Maxtime=50;Eps=10E-4;x=zeros(1,n);disp(x=);for k=1:Maxtime disp(x); for i=1:n s=0.0; for j=1:n if i=j s=s+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i); end if sum(x-floor(x).2)Eps break; end;end;X=x;disp(迭代结果:);XSOR方法：A=5,2,1;-1,4,2;2,-3,10;b=-12,20,3；w=1.45;Maxtime=100;Eps=1E-5;format long;n=length(A);k=0;x=ones(n,1);y=x;disp(迭代过程:);disp(x=);while 1 y=x; disp(x); for i=1:n s=b(i); for j=1:n if j=i s=s-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)=Maxtime error(已达最大迭代次数或矩阵系数近似为0,无法进行迭代); return; end s=s/A(i,i); x(i)=(1-w)*x(i)+w*s; end if norm(y-x,inf)Eps break; end k=k+1;enddisp(最后迭代结果:);X=xformat short;结果分析和讨论：1. 设方程组(1) 考察用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组的收敛性；(2) 用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。结果是：两种方法都收敛。用Jacobi迭代法要迭代18次，Gauss-Seidel迭代法需8次，2. 用SOR方法解方程组，要求当时迭代终止。迭代8次时达到精度要求结论： 和Jacobi迭代法相比Gauss-Seidel迭代法用新分量代替旧分量精度会高一些。而