第3课时等差与等比数列的运用

第三章数列,第3课时等差、等比数列的运用,要点疑点考点,1.等差数列前n项和的最值设Sn是an的前n项和，则an为等差数列Sn=An2+Bn，其中A、B是常数.an为等差数列，若a10，d0，则Sn有最大值，n可由确定若a10，d0，则Sn有最小值，n可由确定.,或根据Sn的图象确定最值.,要点疑点考点,2.递推数列可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)或求数列的通项公式.,基础题例题,1.an为等比数列，bn为等差数列，且b1=0,Cnan+bn，若数列Cn是1，1，5，则Cn的前6项和为_.2.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)lnx+(c-a)lny+(a-b)lnz=_.3.下列命题中正确的是()A.数列an的前n项和是Sn=n2+2n-1，则an为等差数列B.数列an的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是an为等比数列的充要条件C.常数列既是等差数列，又是等比数列D.等比数列an是递增数列，则公比q大于1,30或334,0,B,能力思维方法,4.设an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=_,1/n.,解题分析:观察条件,等式是二次三项式,考虑因式分解.,解:由条件因式分解得(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0,(n+1)an+1-nan=0,或an+1+an=0,又a1=1,能力思维方法,4.设an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=_,1/n.,【解题回顾】这是2000年高考题，因是填空题，本题也可由条件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4后，猜想an=1/n,5.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?,能力思维方法,解题分析:用函数的观点看待等差数列前n项和公式,它是n的二次函数,基于此,可用二次函数求最值的方法考查当n为何值时,Sn取得最大值.,故当n=7时,Sn取得最大值.,5.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?,能力思维方法,另解:an是等差数列,an前n项和Sn=pn2+qn,其中p,q为常数,且Sn满足S1=a10,S3=S11,作出Sn的大致图象如下,由二次函数的性质,S7最大.,5.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?,能力思维方法,【解题回顾】另外，本例还可通过考查项的符号确定n取何值时Sn取得最大值，即寻求这样的一项：使得这项及它前面所有项皆取正值或0，而它后面所有各项皆取负值，则第一项起到该项的和为最大.这是寻求Sn最大值或最小值的基本方法之一.还可以利用Sn的图象.,6.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110,能力思维方法,解:法一:因S10,S20-S10,S30-S20,，S100-S90,S110-S100成等差数列，且其前n项和Tn=S10n，设公差为d，,由T10=S100,得,d=-22,6.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110,能力思维方法,解:法二:设数列an的公差为d,则S110=(a1+a2+a10)+a11+a12+a110,=S10+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d),=S10+S100+10010d=110+10100d,即100d=-22，得S110=110-2210=-110,6.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110,能力思维方法,【解题回顾】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系，熟记等差数列的这些性质常可起到简化解题过程的作用.,在利用an0，an+10或an0、an+10求等差数列前n项和Sn的最值时，符号不能丢掉.,误解分析,变式题1等差数列an中，a10，且3a8=5a13，