函数的基本性质.doc

高一新课标（人教A）数学暑假复习讲义 时间：2011年7月 编写：sjh函数的基本性质 姓名 一、知识要点：1对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。2如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数；当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数。3周期性：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为二、基本训练：1以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是 _2设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）3（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_（2）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a= 4（1）函数的递增区间为_； （2）函数的递减区间为_5设是上的奇函数，当时，则等于 三、例题选讲：例1已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。例2若函数是定义在R上的奇函数，且当时，求当时，求的解析式.例3设，是上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在上为增函数。例4设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。例6（提高题）函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 函数的基本性质自测 姓名 一、选择填空（每小题7分，共70分）1设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 (D) 32下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）（A）（B）（C）（D）3若是奇函数，则下列各点中，在曲线上的点是（ ）（A）（B） （C） （D）4已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 （A）0 （B） （C） （D）（ ）5下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）（A）（B）（C）（D）6如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数，且最小值为5，那么在区间7，3上是（ ）A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为57已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1x2)是增函数的区间（ ）ABCD8已知f(x)=是（-,+）上的减函数，那么a的取值范围是 9若函数f(x)=a在上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .10已知在0, 1上是减函数，则实数的取值范围是 二、解答题（每小题15分，共30分）11已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。12已知函数.（）判断的奇偶性； （）判断的单调性,并加以证明；（）写出的值域.三、提高题13已知函数y=f(x)对任意x,yR均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，f(x)0, .(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；（2）求f(x)在-3，3上的最值.函数的基本性质（教案） 姓名 一、知识要点：1对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。2如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数；当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数。3周期性：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为二、基本训练：1以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是 _2设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）3（1）如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_（2）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a= 4（1）函数的递增区间为_； （2）函数的递减区间为_5设是上的奇函数，当时，则等于 三、例题选讲：例1已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。例2若函数是定义在R上的奇函数，且当时，求当时，求的解析式.例3设，是上的偶函数，（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解（1）f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），（a-=0对一切x均成立， a-=0，而a0,a=1. （2）证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= +-= (x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数. 例4设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围.解：设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。例6（提高题）函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解：（1）设x1,x2R，且x1x2,则x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1). 即f(x)是R上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m,故解集为（-1, ）. 函数的基本性质自测 姓名 一、选择填空（每小题7分，共70分）1设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 (D) 32下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）（A）（B）（C）（D）3若是奇函数，则下列各点中，在曲线上的点是（ ）（A）（B） （C） （D）4已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 （A）0 （B） （C） （D）（ ）5下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）（A）（B）（C）（D）6如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数，且最小值为5，那么在区间7，3上是（ ）A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为57已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1x2)是增函数的区间（ ）ABCD8已知f(x)=是（-,+）上的减函数，那么a的取值范围是 9若函数f(x)=a在上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .10已知在0, 1上是减函数，则实数的取值范围是 二、解答题（每小题15分，共30分）11已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。12已知函数.（）判断的奇偶性； （）判断的单调性,并加以证明；（）写出的值域.解：（）所以，则是奇函数. （） 在R上是增函数，证明如下：任意取，使得：则所以，则在R上是增函数.（）,则的值域为 三、提高题13已知函数y=f(x)对任意x,yR均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，f(x)0, .(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；（2）求f(x)在-3，3上的最值.解 （1）f(x)在R上是单调递减函数证明如下：令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1x2,则x2-x10,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f