第四章 图形变换的矩阵方法(已排)

1,第4章图形变换的矩阵方法,要求：,1.掌握各种图形变换的变换矩阵。,2.掌握图形变换矩阵的一般形式。,3.掌握齐次坐标表示法。,计算机产生图形的过程大致可分为三步：,计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。,图形变换-就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),同时保持图形的原拓扑关系不变.,一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。,2,图形变换,几何变换,投影变换,又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状,几何变换,基本变换,组合变换,：上述变换的连续实施,投影变换,正投影变换,斜投影变换,中心变换,：斜轴测图,线框图的变换通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。,用参数方程描述的图形的变换通过参数方程作几何变换实现。,我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。,：透视图,由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形，要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数。,3,1.二维平面上点的表示法,改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。,2.图形变换的矩阵表示,一对坐标(x,y),一个向量xy,设:点P(x,y),点P(x,y),其数学表达方法,矩阵表达方法,4.1二维图形变换,4,就是将图形放大或缩小的变换方法。,变换式为：,讨论：,1.SxSy1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换,2.SxSy1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。,3.SxSy1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。,图形变化：原有图形放大或缩小的变换,参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。,4.SxSy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。,4.1.1比例变换,5,4.1.2对称变换,6,2.关于y轴的对称变换,3.关于45度平分线的对称变换,4.关于-45度平分线的对称变换,5.关于坐标原点的对称变换,1.关于x轴的对称变换,7,沿x轴方向的错切变换,沿y轴方向的错切变换,1.沿X轴方向的错切变换,4.1.3错切变换,(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;,(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;,(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段,(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,8,(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;,(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;,(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段,(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,2.沿Y轴方向的错切变换,9,其矩阵表示法：,4.1.4绕坐标原点的旋转变换,10,变换过程为：,变换矩阵为,如变换矩阵改为：,则点的坐标（x,y),（x,y,1),P=P*T=,=,4.1.5平移变换,11,它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法,如：二维点xy用XYH表示,如：空间点xyz用XYZH表示,正常化齐次坐标,怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?,H可以任意选取,齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。,如二维平面上的一点3,4,用齐次坐标表示为3,4,1,6,8,2,1.5,2,0.5,通常将H=1的齐次坐标称为,齐次坐标表示点，可以防止溢出,能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述,4.1.6齐次坐标与变换通式,12,4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式,二维图形变换矩阵的通式T:,13,(1)复合平移,(2)复合比例,组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.,4.1.8二维组合变换,14,(3)复合旋转,15,先平移,再旋转,先旋转,再平移,级联的顺序不同,最终的图形不同,由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响,16,3.将图形从原点平移到p(m,n),1.将图形从点p(m,n)平移到原点O,2.绕原点旋转,（1）,（2）,（3）,(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换,17,T1*T2*T3,T,=,=,绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵,18,设直线方程Ax+By+C=0,则：x轴上的截距为-C/Ay轴上的截距为-C/B斜率为-A/B,2.让直线绕原点顺时针旋转角，使之与X轴重合,1.将直线沿X轴平移C/A，使之过原点,对任意直线的对称变换可分解为以下五步:,(6)对任意直线的对称变换,19,3.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换,4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置,5.将直线平移回原来的位置,组合变换矩阵,20,三维图形变换矩阵通式为4x4方阵,比例、反射、旋转、错切,平移,投影变换,总体比例变换,空间点xyz的四维齐次坐标XYZH表示,三维空间点的变换为,xyz1T=xyz1,变换前点的坐标,变换后点的坐标,三维图形的变换矩阵,lmn1x3,pqrT,s1x1,4.2三维图形变换,21,三维图的基本变换,4.2.2轴向比例变换,变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。,0S1，为图形整体缩小,S0);,3)最后向V面作正投影.,4.2.8轴测投影变换,32,这种轴测图的特点是：三个轴向变