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第11.5节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、第二型（对坐标的）曲面积分的概念与性质,三、第二型（对坐标的）曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第二型（对坐标的）曲面积分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,设为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、第二型（对坐标的）曲面积分的概念与性质,1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面的流量.,分析:若是面积为S的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二型曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,2.定义.,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,若记正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用表示的反向曲面,则,三、第二型（对坐标的）曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是上的连续函数,则,证:,取上侧,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面取下侧,则,例1.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,例3.设S是球面,的外侧,计算,解:,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,四、两类曲面积分的联系,例4.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例5.计算曲面积分,其中,解
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