第二节算术平均数与几何平均数

算术平均数与几何平均数（1）,引入新课,例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？,跳跃,重要不等式及其应用,一、重要不等式的推导,课题,ii重要不等式1如果a、bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号),以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。,i如果a、bR,那么有(ab)0(1),把(1)式左边展开，得a2abb0ab2ab(2),(2)式中取等号成立的充要条件是什么？,公式,2、探索,设a、b、cR，依次对其中的两个运用公式(2)，有,a+b2ab;,b+c2bc;,c+a2ca.,a+b2ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号),把以上三式叠加，得abcabbcca(3)(当且仅当a=b=c时取“=”号),从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加.,由于ab(ab)(aabb),启示我们把公式(2)变成aabbab,两边同乘以a+b，为了得到同向不等式，这里要求a、b0,得到a+babab。(4),3、再探索,考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？,a+b2ab(a、bR当且仅当ab时取“”号),重要不等式2如果a、b、c0,那么abc3abc(当且仅当abc时取“”号),考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？,由公式(3)的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c,c、a迭代(4)式，并应用公式(2)，得2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)a2bc+b2ca+c2ab=6abc,a+b+c3abc(5)(当且仅当a=b=c时取“=”号）,4、定理,(6)(当且仅当a=b时取“=”号),在公式(5)中用、分别替换a、b、c，可得()+()+()3a+b+c3,（a+b+c)/3(7)(当且仅当abc时取“”号）,a+b2ab(a、bR当且仅当a=b时取“=”号),公式,a+b+c3abc(a,b,cR+当且仅当a=b=c时取“=”号),问题：若a,b都为正数，试比较与的大小关系.,定理1：如果a、b0,那么(当且仅当ab时取“”号),定理1的推广如果a、b、c0,那么(当且仅当abc时取“”号),重要不等式及其应用,重要不等式1如果a、bR,那么a+b2ab(当且仅当a=b时取“=”号),重要不等式2如果a、b、c0,那么a+b+c3abc(当且仅当a=b=c时取“=”号),定理1如果a、b0,那么(当且仅当a=b时取“=”号),定理1的推论：如果a、b、c0,那么(当且仅当a=b=c时取“=”号),5、两个概念,公式,定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。,a+b2ab(a、bR当且仅当a=b时取“=”号),a+b+c3abc(a,b,cR+当且仅当a=b=c时取“=”号),如果a1，a2，an0，且n1，那么叫做这n个正数的算术平均数.,叫做这n个正数的几何平均数。,说明,公式,（1）a+b2ab成立的条件是a、bR，而均值不等式成立的条件是a、bR,（2）若把看作是正数a,b的等差中项，看作是正数a,b的等比中项，那么这个定理可叙述为“两个正数的等差中项不小于它们的等比中项”,（3）若以a+b为直径作圆，在直径上取点C，使ACa,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.可知,（4）不等式的变式有这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的.,例1：,例3：已知a,b,c,d都为正数，求证：,课本：P11练习,如果a、b、cR,那么有(a-b)0a+b2aba+b+cab+bc+ca如果a、b、c0,那么有a+bab+aba+b+c3abc(a+b)/2（a+b+c)/3(当且仅当a=b=c时取“=”号）,公式总汇,算术平均数与几何平均数（2）,重要不等式1如果a、bR,那么a+b2ab(当且仅当a=b时取“=”号),重要不等式2如果a、b、c0,那么a+b+c3abc(当且仅当a=b=c时取“=”号),定理1如果a、b0,那么(当且仅当a=b时取“=”号),定理1的推论：如果a、b、c0,那么(当且仅当a=b=c时取“=”号),已知x,y都为正数，,（1）如果积xy为定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值,（2）若x+y为定值S，那么当x=y时，积xy有最大值,这个结论反映在利用均值不等式求最值时，要注意以下三个条件,（1）函数式中各项必须都是正数,（2）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数,（3）等号成立的条件必须存在,一正、二定、三相等,例1、（1）求函数的最小值并求相应的x的值,（2）求函数的最小值并求相应的x的值,（3）求函数的最大值,析：求函数的最值，可考虑利用和，积不等式，关键在于对函数式结构的调整，使得函数的结构为和的形式（或积的形式），并且相应的和（或积）为定值,说明：此题通过恰当的恒等变形分拆变量，使之满足定理条件，把问题转化为定积条件下的两个变量和的问题,例2、若x0,y0,且x+y=2,求x2+y2的最小值,例3、（1）某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费、汽车油费合计为9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年为4千元，第三年为6千元依等差数列逐年递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即年平均费用最少）,（2）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽