人教高二数学分类计数原理与分步计数原理

10.1分类计数原理与分步计数原理,设置情境先看下面的问题：2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,问题2从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有2班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,分步计数原理（乘法原理）,分类计数原理与分步计数原理有什么不同？,分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？（3）从书架上任取2种不同类型的书各1本，有多少种不同的取法？,解:(1)4+3+2=9(2)43224(3)43423226,例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？,解：1010101010000,例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,小结：分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系,1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？2集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4从A,B中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？3某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？4.集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,从A到B的映射有多少个？,讲讲练练,979575143,344324,22228,333381,例1在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类个位是9，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故有7个；与上同样：个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类计数原理知，满足条件的两位数有,说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理,例2（1993年全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A6种B9种C11种D23种,例3某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？,解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出，放这类选法共有6212种，故共有20种不同的选法,例4.现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？,解：分5步进行：第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法；第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法;第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法;第四步：同前第五步：同前由分步计数原理可得不同排法有544441280种,例5.用0，1，2，9可以组成多少个8位号码；用0，1，2，9可以组成多少个8位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等,1010101010101010108,9101010101010109107,99874536,91010109000,先定个位，再定千位，最后定百、十位58872240,例6.自然数2520有多少个约数？,解：2520233257分四步完成：第一步：取20，21，22，23，24有4种;第二步：取30，31，32有3种；第三步：取50，51有2种