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文档简介

,3.3积分方法,3.3.1换元法3.3.2分部积分法,3.3.1换元积分法,一、案例二、概念和公式的引出,一、案例石油消耗量,近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.071970年初，消耗量大约为161亿桶设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，已知,试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总量,（亿桶）,解设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的总量.T(t)就是石油消耗率R(t)，即T(t)=R(t)，于是由变化率求总改变量，得,在基本积分公式中，只有积分公式,(桶),0.07t=ut:020u:01.4,二、概念和公式的引出,对上式积分结果求导，有,不定积分的换元法,成立。,换元法求不定积分的一般步骤如下：,定积分的换元法,设函数f(x)在区间a,b上连续，若,则有定积分的换元公式,注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要,进行相应地变换,t=0时，v=0.3m/s求质子的运动速度,解,凑微分,令u=1+2t，得,当t=0，即u=1时，v=0.3代入上式得C=-9.7,再将u=1+2t，代入上式，得,练习2太阳能能量,解,某一太阳能的能量f相对于太阳能接触的表面面积,f的函数表达式,凑微分,令u=0.01x+1，得,当x=0，即u=1时，f=0代入上式得C=-1，所以,凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接,写出结果,注：,案例3商品销售量某种商品一年中的销售速度为,解由变化率求总改变量知商品在前3个月的销售总量P为,求此商品前3个月的销售总量,练习4电路中的电量,解由电流与电量的关系,设导线在时刻t(单位：s)的电流为,求在时间间隔1,4s内流过导线横截面的电量,Q(t)(单位：A),得在1,4秒内流过,导线横截面的电量Q为,3.3.2分部积分法,一、案例二、概念和公式的引出,一、案例新井的石油产量,工程师们预计一个新开发的天然气新井在开采后的,试估计该新井前4年的总产量,解,微元）为,该新井前4年的总产量为,对数函数指数函数,二、概念和公式的引出,不定积分的分部积分法,定积分的分部积分法,练习1案例的计算,解,分部积分法,(m3),在应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键,选取u和v一般要考虑下面两点：,(1)v要容易求得；,注：一般地，如果被积函数是幂函数与正（余）弦函数或指数函数的乘积，可以用分部积分法，选幂函数为u被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为u.,练习2电能在电力需求的电涌时期，消耗电能,求在前两个小时内消耗的总电能E.,解,由变化率求总改变量知,练习3石油总产量,经济学家研究一口新井的原油生产速度
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