高三数学函数的极限函数的连续性

函数的连续性,一种是连续变化的情况,温度计,20,40,60,80,例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。,另一种是间断的或跳跃的,如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点x0处是连续的。,2.6函数的连续性,一、函数在某一点处的连续性,2、,3、,（1）在x=1处有定义,（3）函数f（x）的极限不存在。,4、,（1）在x=1处有定义；,（2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1）,导致函数图象断开的原因：,1、函数在处没有定义,2、函数在时极限不存在,函数值不相等,3、函数在处的极限值和,一般地，函数f（x）在点x0处连续必须同时具备三个条件：,1、存在，即函数在点x0处有定义。,2、存在。,3、,定义：设函数f(x)在处及其附近有定义，而且,则称函数f(x)在点处连续，,称为函数f(x)的连续点。,“连续必有极限，有极限未必连续”,例1讨论下列函数在给定点处的连续性：,解：如图,（1）函数在点x=0处没有定义，因而它在点x=0处不连续。,（2）因为,解：f(x)的定义域为：R,且,解：因为在x=2处，f(2)不存在，所以f(x)在x=2处不连续。,在x=3处，f(3)=,从而，f(x)在x=3处连续。,二、单侧连续性：,并且,如果函数在点处及其右侧附近有定义,则称f(x)在点处右连续。,类似地：,则称f(x)在处是左连续。,如果函数在点x0处及其左侧附近有定义，并且,如,例如函数,如图，在点x=0附近，,因而函数在x=0处是右连续，而非左连续。,三、函数的连续性：,1、开区间内连续：如果在某一开区间内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数。,2、闭区间上连续：如果函数在开区间内连续，在左端点处右连续，在右端点处左连续，就说函数在闭区间上连续。,例如，函数在闭区间-1，1上连续，而函数在开区间（0，1）内连续，在闭间0，1上不连续，因为它在左端点x=0处不是右连续。,1、连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：,连续,不连续,连续,不连续,不连续,不连续,练习：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,不连续,（8）,连续,2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。,不连续,连续,连续,连续,从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意，这时我们说闭区间a，b上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。,四、闭区间上连续函数的性质：,性质(最大值最小值定理)如果f（x）是闭区间a，b上的连续函数，那么f（x）在闭区间a，b上有最大值和最小值。,注函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值-1（如图）,再如对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。,本节小结：,1、设函数f(x)在处及其附近有定义，而且,则称函数f(x)在点x0处连