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文档简介

3.1交比,交比最根本的射影不变量,一、点列中四点的交比,定义1.在拓广平面上，设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1P2，固定基点P1,P2之齐次坐标，则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比.定义为,称P1,P2为基点对，P3,P4为分点对.,注.P1,P2，P3,P4允许含一个无穷远点以及一对相同点；或者，P1,P2，P3,P4全部是无穷远点。,性质1共线四点的交比值出现0,1,三者之一这四点中有某二点相同.,证明对P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,.,性质2设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：,推论相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：,定理2.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为A+iB(i=1,2,3,4)，且Pi与B不相同.则,注意：A,B表示点列l(P)上两点A,B的某一确定的齐次坐标，不可随意改动.但是A,B可以是无穷远点。,注：定理2可以作为交比的一般定义.,作业1已知(P1P2,P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1).求P3的坐标.,解：设,则显然,由,可得,从而P3的坐标为(3,1,3).,作业2.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.,由题设,已知四点相异,作业3已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1P2,Q1Q2).,作业4.设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点.证明(1)(12,34)(12,45)(12,5
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