简易逻辑充要条件数学第一轮复习课件

简易逻辑,一、命题的有关概念,1.命题,可以判断真假的语句.,“非p”形式的复合命题与p的真假相反;,2.逻辑联结词,“或”、“且”、“非”.,3.简单命题,不含逻辑联结词的命题.,4.复合命题,含有逻辑联结词的命题.,5.复合命题真值表,“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假,其它情形为真;,“p且q”形式的复合命题当p与q同时为真时为真,其它情形为假.,二、命题的四种形式,逆否命题:若q,则p.,原命题:若p,则q;,逆命题:若q,则p;,否命题:若p,则q;,注:互为逆否命题的两个命题同真假.,三、反证法,1.一般步骤,反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;,归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;,结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,2.命题特点,结论本身以否定形式出现;,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;,结论的反面比原结论更具体或更易于证明.,3.特殊结论的反设,4.引出矛盾的形式,由假设结论q不成立,得到条件p不成立;,由假设结论q不成立,得到结论q成立;,由假设结论q不成立,得到一个恒假命题;,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.,四、充要条件,1.充分与必要条件,若pq,且qp,则p是q的充要条件.,2.与四种命题的关系:,如果p是q的充分条件,则原命题“若p则q”以及逆否命题“若q则p”都是真命题.,如果p是q的必要条件,则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.,如果p是q的充要条件,则四种命题均为真命题.,3.集合观点,设P=x|p(x)成立,Q=x|q(x)成立,若PQ且QP,则p是q的既不充分也不必要条件.,若PQ,则p是q的充分但不必要条件;,若QP,则p是q的必要但不充分条件;,若P=Q,则p是q的充要条件(q也是p的充要条件);,典型例题,例1判断下列各题中p是q的什么条件:,(1)p:x5,q:x5;,(3)p:D2=4F,q:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切;,(4)p:多面体是正四棱柱,q:多面体是长方体;,(5)p:ABC中,acosB=bcosA,q:ABC为等腰三角形.,解:(1)设P=x|x5,Q=x|x5,p是q的充分但不必要条件.,PQ,p是q的既不充分也不必要条件.,解:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切,p是q的必要但不充分条件.,解:正四棱柱是特殊的长方体,p是q的充分但不必要条件.,正四棱柱长方体.,解:acosB=bcosA,2RsinAcosB=2RcosAsinB.,A=B.,sin(A-B)=0.,pq.,p是q的充分但不必要条件.,(4)p:多面体是正四棱柱,q:多面体是长方体.,(5)p:ABC中,acosB=bcosA,q:ABC为等腰三角形.,P形成的集合看作P,显然QP.,(3)p:D2=4F,q:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切.,例2已知f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),求证:关于x的方程f(x)=0恰有两不相等的实数解的充要条件是:存在x0R,使af(x0)b2-4(-a2x02-abx0),证:充分性:若存在x0R,使af(x0)0,即a2x02+abx0+ac0,=(2ax0+b)20.,关于x的方程f(x)=0恰有两不相等的实数解.,必要性:若关于x的方程f(x)=0恰有两不相等的实数解,(否则,方程f(x)=0不会恰有两个不相等的实数解,矛盾).,故由,可知关于x的方程f(x)=0恰有两不相等的实数解的充要条件是:存在x0R,使af(x0)0.,设为x1,x2,且x1x2,则a0,f(x)=a(x-x1)(x-x2).,则x1x0x2,af(x0)=a2(x0-x1)(x0-x2),0,这说明存在x0R,使af(x0)0.,在此前提下考虑至少有一个非负根的反面即两个负根的充要条件是:,例3已知集合M=(x,y)|y2=2x,N=(x,y)|(x-a)2+y2=9,求证:MN的充要条件是-3a5.,即关于x的方程x2+2(1-a)x+a2-9=0至少有一个非负根.,证:由已知MN的充要条件是方程组,由0得a5.,解得a-3.,从而使MN的充要条件是-3a5.,例4求证：关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a2且|b|4.,方程有实数根x1和x2.,证明:由a2且|b|4得:a24b.,=4(a2-b)0.,又由a2得:-2a-4.而b-4,(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4-4-4=-80,即(x1-2)+(x2-2)0.,(x1-2)0且(x2-2)0.,x12且x22.,由a2且|b|4可推得关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2.,另一方面,对于方程x2-x=0,其两