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第三节幂级数,一、函数项级数的概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论，,幂级数收敛域的可能情形：,如：,除x0外，其它点均发散.,对于任意的xR,幂级数都收敛.,如：,既有使幂级数收敛的非零点,又有使幂级数发散的点.,则D有界,故存在R0.,Abel几何意义:,绝对收敛区域,发散区域,发散区域,当|x|R时,幂级数绝对收敛.当|x|R时,幂级数发散.当|x|R时,幂级数可能收敛,可能发散.是收敛与发散的分界点.,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,收敛半径R的特征：,例设幂级数当时发散,当时收敛,则该级数的收敛半径是_.,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,称为幂级数的收敛区间.,幂级数的收敛域有四种可能.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕.,1,注:该定理反之不成立.即:幂级数的收敛半径为R,未必,例如,的收敛半径是R1.,但,例1求下列幂级数的收敛区域:,解,该级数收敛,该级数发散,收敛半径,收敛区间,讨论端点,结论,发散,收敛,故收敛区域为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,解法2(代换),例3若幂级数的收敛域为(4,4,写出的收敛域.,解,设x2t,则,|t|4,因此|x|2,发散.,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1)加减法,(其中,(2)乘法,(其中,柯西乘积,注:两级数相加减或乘所得幂级数的半径RminR1，R2.但当R1R2时,RminR1，R2.,例:求的收敛域,解,由根式判别法易得的收敛半径都是3,又原级数在x3时发散,故其收敛半径R3.,及和s.,收敛域(-3,3),R3.,2.和函数的分析运算性质:,(3)除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),(收敛半径不变),(收敛半径不变),思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,解,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,求导,积分后的级数收敛区间不变,但收敛域会改变.,一般而言，积分后收敛域可能会变大，求导后收敛域可能会变小.若x=R,幂级数发散，积分后新幂级数可能收敛；若x=R,幂级数收敛，求导后新幂级数可能发散,设原幂级数的收敛域为(-R,R),求导后新幂级数的收敛域是设原幂级数的收敛域为-R,R,积分后新幂级数的收敛域是,(-R,R);,-R,R.,解,两边积分得,首先，该级数的收敛域为(1,1,例5求的和函数.,解,令x2t,即求的和函数.,求导,得,所以，,解,收敛区间(
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