新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B必修1

第4课时分段函数,1.分段函数的定义一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.,【思考】分成两段的分段函数是两个函数吗？提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样.,2.几个特殊的函数(1)高斯取整函数y=x，定义域为R，值域为Z.(2)狄利克雷函数D(x)=定义域为R，值域为0，1.,(3)常数函数y=c，c为常数，定义域为R，值域为c，图像为垂直于y轴的直线.,【思考】能否用图像表示狄利克雷函数？提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)分段函数y=的定义域为(-，1.()(2)函数y=|x|不是分段函数.()(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线.(),提示：(1).分段函数y=的定义域为(-，11，+)=R.(2).函数y=|x|=是分段函数.(3).常数函数的图像是垂直于y轴的直线.,2.已知函数f(x)=则f(f(-3)的值为_.,【解析】因为f(x)=所以f(-3)=-3+4=1，f(f(-3)=f(1)=1-4=-3.答案：-3,3.设函数f(x)=若f(x0)=8，则x0=_.,【解析】由题意，得(1)当x02时，有+2=8，解之得x0=，而2不符合，所以x0=-.(2)当x02时，有2x0=8，解之得x0=4.综上所述，得x0=4或-.答案：4或-,类型一分段函数的图像【典例】高斯取整函数y=x又称“下取整函数”，其中x表示不大于x的最大整数；称函数y=为“上取整函数”，其中表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：1.3=1，-1.3=-2，=-2，=3.,(1)函数f(x)=，x-2，2，求(2)试作出函数y=x+的图像，其中-1x1.,【思维引】1.根据两个取整函数的定义由内向外求值.2.先将函数的解析式分段表示，再作图.,【解析】(1)函数f(x)=，x-2，2，因为则=3，则,因为则=2，则=2.,(2)当x=-1时，-1=-1，=-1，此时y=x+=-1-1=-2，当-1=0，此时y=x+=-1+0=-1，当x=0时，0=0，=0，,此时y=x+=0，当0=1，此时y=x+=0+1=1，当x=1时，1=1，=1，此时y=x+=1+1=2，,则y=x+=,作图：,【内化悟】作分段函数的图像的关键是什么？提示：确定解析式.,【类题通】分段函数图像的作法(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式.(2)分段描点作图.(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.,【习练破】(2019石嘴山高一检测)已知函数f(x)=x|x-m|(xR)，且f(1)=0.(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x).(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表).,【解析】(1)因为f(1)=0，所以|m-1|=0，即m=1，所以f(x)=x|x-1|=,(2)函数图像如图：,【加练固】已知函数f(x)=|x-1|.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)在右边所给的坐标系中画出该函数的图像.,【解析】(1)y=(2)作图：,类型二分段函数的解析式及应用【典例】1.设f(x)=则f(5)的值为()A.10B.11C.12D.13,2.设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是()A.10B.0，10C.-2，0，10D.-1，1，11,3.如图，定义在-1，+)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_.世纪金榜导学号,【思维引】1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6).2.分段令f(m)=1，解方程求m.3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.,【解析】1.选B.因为f(x)=所以f(5)=f(f(11)=f(9)=f(f(15)=f(13)=11.,2.选C.当m0时，设解析式为y=a(x-2)2-1(a0)，,因为图像过点(4，0)，所以0=a(4-2)2-1，解得a=所以f(x)=答案：f(x)=,【内化悟】已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域.,【类题通】1.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值.,2.分段函数求自变量值的方法分段令f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去.,3.求分段函数的解析式的方法首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍.,【习练破】1.已知函数f(x)=若f(x)=5，则x的值是()A.-2B.2或C.2或-2D.2或-2或,【解析】选A.由题意，当x0时，f(x)=x2+1=5，得x=2，又x0，所以x=-2；当x0时，f(x)=-2x=5，得x=舍去.,2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是_.,【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得f(x)=答案：f(x)=,【加练固】已知函数f(x)=则f(f(5)=()A.0B.-2C.-1D.1,【解析】选C.因为50，将x=5代入函数解析式，得f(5)=3-5=-2，所以f(f(5)=f(-2)，因为-20，将x=-2代入函数解析式，得f(-2)=(-2)2+4(-2)+3=-1.,类型三分段函数的综合问题角度1范围问题【典例】已知f(x)=则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是世纪金榜导学号()A.-2，1B.(-，-2C.D.,【思维引】分x+20，x+20两种情况解不等式.,【解析】选D.(1)当x+20，即x-2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)f(x+2)5，可得x+x+25，所以x即-2x,(2)当x+20，即x-2时，f(x+2)=-1，由x+(x+2)f(x+2)5，可得x-(x+2)5，即-25成立，所以x-2.综上，不等式的解集为,【素养探】在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的数学运算，通过分情况后代入解析式，解不等式求范围.若将本例中的条件改为“已知f(x)=”试求不等式的解集.,【解析】(1)当x+21，即x-1时，f(x+2)=1，由x+(x+2)f(x+2)5，可得x+x+25，所以x即-1x,(2)当x+21，即x-1时，f(x+2)=-1，由x+(x+2)f(x+2)5，可得x-(x+2)5，即-25，所以x-1.综上，不等式的解集为,角度2值域问题【典例】已知函数f(x)=世纪金榜导学号(1)求的值.(2)画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.,【思维引】(1)先求再求(2)从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值域.,【解析】(1)(2)由图像可知，函数的值域是(-，1.,【类题通】1.已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论.(2)然后代入不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.,2.分段函数的值域(1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域.(2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围.,【习练破】1.已知f(x)=使f(x)-1成立的x的取值范围是()A.-4，2)B.-4，2C.(0，2D.(-4，2,【解析】选B.因为f(x)-1，所以或所以-4x0或0x2，即-4x2.,2.若f(x)=则f(x)的值域为_.,【解析】当x-1，1时，f(x)=x