浙江高考数学专题二立体几何规范答题示例4空间角的计算问题学案.docx

规范答题示例4空间角的计算问题典例4(15分)(2017浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值审题路线图方法一(1)规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法一(1)证明如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EFAD，又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.4分因为BF平面PAB，CE平面PAB，因此CE平面PAB.6分(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，又PNBNN，PN，BN平面PBN，所以AD平面PBN.9分由BCAD得BC平面PBN，又BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12分设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.15分第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的正弦值.第四步得结论：得到所求夹角的正弦值.审题路线图方法二(1)(2)规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板方法二(1)证明设AD的中点为O，连接OB，OP.PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，OPAD.BCADOD，且BCOD，四边形BCDO为平行四边形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面OPB，AD平面OPB.2分过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.4分设CD1，则有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)设P(x,0，z)(z0)，由PC2，OP1，得解得x，z.即P，E为PD的中点，E.设平面PAB的法向量为n(x1，y1，z1)，(1,1,0)，即解得令y1，得n(1，1，).7分而，n0，又CE平面PAB，CE平面PAB.10分(2)解设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，(0,1,0)，即令x21，得m(1,0，).13分设直线CE与平面PBC所成的角为，则sin |cos，m|.故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.15分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则(1)方法一第(1)问中证明CE平面PAB缺少条件扣1分，第(2)问中证明PNAD和BNAD各给1分(2)方法二中建系给2分，两个法向量求出1个给3分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练4(2018全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为